התפלגות ברנולי

התפלגות ברנולי

מאפיינים
פרמטרים	<math>0 \leq p \leq 1</math> – ההסתברות ל"הצלחה" <math>q=1-p</math>
תומך	<math>k\in \{0,1\}</math>
פונקציית הסתברות (pmf)	<math>\begin{cases} q=1-p, & k=0 \\ p, & k=1 \end{cases} </math><math>p^k q^{1-k} \!</math>
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	<math>\begin{cases} 0, & k < 0 \\ 1 - p, & 0 \leq k < 1 \\ 1, & k \geq 1 \end{cases}</math>
תוחלת	<math>p</math>
סטיית תקן	<math>\sqrt{p\cdot (1-p)} = \sqrt{p\cdot q} </math>
חציון	<math>\begin{cases} 0 & \text{if } p < 1/2\\ \left[0, 1\right] & \text{if } p = 1/2\\ 1 & \text{if } p > 1/2 \end{cases}</math>
ערך שכיח	<math>\begin{cases} 0 & \text{if } p < 1/2\\ 0, 1 & \text{if } p = 1/2\\ 1 & \text{if } p > 1/2 \end{cases}</math>
שונות	<math>p\cdot (1-p) = pq </math>
אנטרופיה	<math>-q\ln q - p\ln p</math>
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	<math>q+pe^t</math>
פונקציה אופיינית	<math>q+pe^{it}</math>
צידוד	<math>\frac{q - p}{\sqrt{p\cdot q} }</math>
גבנוניות	<math>\frac{1 - 6p\cdot q}{p\cdot q}</math>

בסטטיסטיקה ובתורת ההסתברות, התפלגות ברנולי, על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, היא התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך <math>X=1</math> או ערך <math>X=0</math> בהסתברות <math>\Pr(X=1)=p</math> ו-<math>\Pr(X=0)=1 - p</math>. מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים – הצלחה או כישלון. במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב-<math>q</math> (כלומר: <math>q = 1-p</math>).

למשל, בקובייה הוגנת ההסתברות לנפילה על <math>6</math> היא<math>\frac 16</math>, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא <math>\frac 56</math>. אם תסומן התוצאה <math>6</math> כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון, אז המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר <math>p=\frac 16</math>.

את העובדה שלמשתנה מקרי <math>X</math> יש התפלגות ברנולי מסמנים <math>X \sim\ \text{b}(p)</math> (לעיתים <math>X \sim\ \text{Bernoulli}(p)</math>). והשונות שלו היא <math>\operatorname{Var}(X)= p\cdot (1-p)</math>. משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה <math>X^n=X</math> לכל <math>n</math> (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ומכאן שכל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־<math>p</math>.

משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של <math>n</math> משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, <math>B(n,p)</math> (ובפרט, ההתפלגות <math>B(1,p)</math> היא התפלגות ברנולי).

תכונות

אם <math>X</math> הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:

<math>\Pr(X=1) = p = 1 - \Pr(X=0) = 1 - q.</math>

פונקציית הסתברות <math>f</math> של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:

<math> f(k;p) = \begin{cases}

p & \text{if }k=1, \\
q = 1-p & \text {if } k = 0.
\end{cases}</math>

צורה שקולה לביטוי זה היא:

<math>f(k;p) = p^k (1-p)^{1-k} \quad \text{for } k\in\{0,1\}</math>

או:

<math>f(k;p) = pk+(1-p)(1-k) \quad \text{for } k\in\{0,1\}.</math>

בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור <math>n = 1</math>.

גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של <math>p</math>. עבור ערכי <math>0 \le p \le 1</math> ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ואומד הנראות המרבית של <math>p</math> עבור מדגם מקרי הוא ממוצע הדגימה.

תוחלת

התוחלת של משתנה מקרי <math>X</math> המתפלג ברנולי היא:

<math>\mathbb{E}[X]= p</math>

זאת משום שעבור<math>X</math> בו <math>\Pr(X=1)=p</math> יחד עם <math>\Pr(X=0)=1-p</math> מתקבל:

<math>\mathbb{E}[X] = \Pr(X=1)\cdot 1 + \Pr(X=0)\cdot 0

= p \cdot 1 + (1-p)\cdot 0 = p.</math>

שונות

השונות של משתנה מקרי <math>X</math> המתפלג ברנולי היא:

<math>\operatorname{Var}[X] = pq = p(1 - p)</math>

הוכחה

ראשית,

<math>\mathbb{E}[X^2] = \Pr(X=1)\cdot 1^2 + \Pr(X=0)\cdot 0^2 = p \cdot 1^2 + q\cdot 0^2 = p</math>

ומכאן:

<math>\operatorname{Var}[X] = \mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2 = p-p^2 = p(1-p) = pq</math>

כמובטח.

צידוד (Skewness)

הצידוד של משתנה מקרי <math>X</math> מפולג ברנולי הוא:

<math>\gamma_{1} = \frac{q-p}{\sqrt{qp}}=\frac{1-2p}{\sqrt{qp}}</math>

ראו גם

• משפט לה קם

קישורים חיצוניים

• התפלגות ברנולי, באתר MathWorld (באנגלית)