פונקציה אופיינית (הסתברות)

קובץ:Sinc simple.svg

הפונקציה האופיינית של משתנה מקרי המתפלג התפלגות אחידה רציפה U(–1,1). הפונקציה ממשית מכיוון שצפיפות ההתפלגות של המשתנה המקרי סימטרית סביב אפס.

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, פונקציה אופיינית של משתנה מקרי היא פונקציה המתארת את ההתפלגות שלו. בעזרתה ניתן לנתח את ההתפלגות של משתנה אקראי באופן מלא מבלי להשתמש בפונקציית צפיפות ההסתברות או בפונקציית ההצטברות. הפונקציה האופיינית שימושית במיוחד לתיאור ההתפלגות של צירוף ליניארי של משתנים אקראיים.

הגדרה

הפונקציה האופיינית של משתנה אקראי <math>X</math> היא פונקציה מרוכבת המוגדרת כתוחלת של <math>e^{itX}</math>, כאשר <math>i</math> הוא היחידה המדומה ו־<math>t</math> הוא מספר ממשי שמהווה את המשתנה של הפונקציה האופיינית:

<math>\varphi_X(t)=\operatorname{E}[\,e^{itX}\,] = \int_{-\infty}^\infty e^{itx} f_X(x)\,dx</math>

בחישוב התוחלת כאינטגרל, הפונקציה האופיינית מתקבלת כצמוד של התמרת פורייה של פונקציית צפיפות ההסתברות.

לפונקציה האופיינית קשר פשוט לפונקציה יוצרת המומנטים (אם מרחיבים את תחום ההגדרה שלה למרוכבים):

<math>\varphi_X(-it)=M_X(t)</math>

בניגוד לפונקציה יוצרת מומנטים, הפונקציה האופיינית תמיד קיימת וממנה ניתן לקבל את פונקציית צפיפות ההסתברות ואת המומנטים או להסיק על אי קיומם.

תכונות

• הפונקציה האופיינית של משתנה מקרי ממשי תמיד קיימת מכיוון שהיא אינטגרל של פונקציה חסומה ורציפה על מרחב שהמידה שלו סופית.
• פונקציה אופיינית היא פונקציה רציפה במידה שווה בכל המרחב.
• פונקציה אופיינית אינה מתאפסת בסביבת הנקודה אפס, שכן מההגדרה <math>\varphi(0)=1</math>.
• פונקציה אופיינית היא הרמיטית: <math>\varphi(t)=\varphi(-t)</math>. בפרט, הפונקציה האופיינית של משתנה מקרי סימטרי (סביב הראשית) היא ממשית וזוגית.
• קיים יחס חד-חד ערכי בין התפלגויות הסתברות לבין פונקציות אופייניות. כלומר לשני משתנים מקריים <math>X_1</math> ו־<math>X_2</math> יש את אותה התפלגות אם ורק אם יש להם אותה פונקציה אופיינית <math> \varphi_{X_1}=\varphi_{X_2}</math>.
• אם המומנטים של משתנה מקרי <math>X</math> מוגדרים עד סדר <math>k</math>, אזי לפונקציה האופיינית <math>\varphi_X</math> יש <math>k</math> נגזרות רציפות על כל הישר הממשי. במקרה זה:

<math>\operatorname{E}[X^k] = i^{-k} \varphi_X^{(k)}(0)</math>

• אם הנגזרת ה־<math>k</math> של פונקציה אופיינית <math>\varphi_X</math> מוגדרת באפס, אזי אם כל המומנטום של המשתנה המקרי <math>X</math> מוגדרים עד המומנט ה־<math>k</math> אם <math>k</math> זוגי, ועד המומנט ה־<math>k-1</math> אם <math>k</math> אי-זוגי:

<math> \varphi_X^{(k)}(0) = i^k \operatorname{E}[X^k] </math>

• הפונקציה האופיינית של סכום של שני משתנים אקראיים בלתי תלויים סטטיסטית היא מכפלת הפונקציות האופייניות שלהם:

<math>\varphi_{X+Y}(t)=E\left(e^{it(X+Y)}\right)=E\left(e^{itX}e^{itY}\right)=E\left(e^{itX}\right)E\left(e^{itY}\right)=\varphi_X(t) \varphi_Y(t)</math>

• יהי <math>Y= aX + b</math> משתנה המקרי המתקבל על ידי טרנספורמציה ליניארית של <math>X</math> עם פרמטרים קבועים <math>a</math> ו־<math>b</math>. הפונקציה האופיינית של <math>Y</math> היא <math>\varphi_Y(t)=e^{itb}\varphi_X(at)</math>.

עבור וקטורים מקריים <math>X</math> ו-<math>Y = AX + B</math> (כאשר <math>A</math> היא מטריצה קבועה ו־<math>B</math> הוא וקטור קבוע), אזי:

<math>\varphi_Y(t) = e^{it^\top B}\varphi_X(A^\top t)</math>.

דוגמאות

התפלגות	הפונקציה האופיינית
התפלגות מנוונת <math>\delta_a</math>	<math>\, e^{ita}</math>
התפלגות בינומית <math>B(n,p)</math>	<math>\, (1-p+pe^{it})^n</math>
התפלגות פואסון <math>\text{Pois}(\lambda)</math>	<math>\, e^{\lambda(e^{it}-1)}</math>
התפלגות אחידה רציפה <math>U(a,b)</math>	<math>\, \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}</math>
התפלגות אחידה בדידה <math>DU(a,b)</math>	<math>\frac{e^{ita} - e^{it(b + 1)}}{(1 - e^{it})(b - a + 1)}</math>
התפלגות נורמלית <math>N(\mu,\sigma^2)</math>	<math>\, e^{it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2t^2}</math>
התפלגות כי בריבוע <math>X_k^2</math>	<math>\, (1 - 2it)^{-k/2}</math>
התפלגות קושי <math>C(\mu,\theta)</math>	t|}</math>
התפלגות מעריכית <math>\text{Exp}(\lambda)</math>	<math>\, (1 - it\lambda^{-1})^{-1}</math>
התפלגות לפלס <math>L(\mu,b)</math>	<math>\frac{e^{it\mu}}{1 + b^2t^2}</math>
התפלגות ברנולי <math>\text{Bern}(p)</math>	<math>1-p+pe^{it}</math>

שימושים

מניפולציות בסיסיות של התפלגויות

פונקציות אופייניות שימושיות במיוחד לטיפול בפונקציות ליניאריות של משתנים אקראיים בלתי תלויים. לדוגמה, אם <math>X_1, X_2, \ldots, X_n</math> היא סדרה של משתנים אקראיים בלתי תלויים (ולא בהכרח שווי-התפלגות), ואם

<math>S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,\,\!</math>

כאשר <math>a_i</math> הם קבועים, אז הפונקציה האופיינית של <math>S_n</math> היא

<math>\varphi_{S_n}(t)=\varphi_{X_1}(a_1t)\varphi_{X_2}(a_2t)\cdots \varphi_{X_n}(a_nt) \,\!</math>

בפרט, עבור שני משתנים מקריים בלתי תלויים <math>X</math> ו־<math>Y</math> <math>Y</math> <math>\varphi_{X+Y}(t) = \varphi_X(t) \varphi_Y(t) </math>. כדי להראות זאת מספיק להשתמש בהגדרה של הפונקציה האופיינית

<math>\varphi_{X+Y}(t)= \operatorname{E}\left [e^{it(X+Y)}\right]= \operatorname{E}\left [e^{itX}e^{itY}\right] = \operatorname{E}\left [e^{itX}\right] \operatorname{E}\left [e^{itY}\right] =\varphi_X(t) \varphi_Y(t)</math>

אי התלות של <math>X</math> ו-<math>Y</math> מבטיחה שהביטוי השלישי והרביעי שווים.

מקרה פרטי חשוב הוא כאשר <math>X_1, X_2, \ldots, X_n</math> הם משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות וכאשר <math>a_i = 1/n</math>. אם נסמן <math>\overline{X}</math> את ממוצע <math>n</math> המשתנים המקריים אז הפונקציה של <math>\overline{X}</math> תהיה:

<math>\varphi_{\overline{X}}(t)= \varphi_X\!\left(\tfrac{t}{n} \right)^n</math>.

מומנטים

ניתן להשתמש בפונקציה האופיינית כדי לחשב את המומנטים של משתנה מקרי. בהנחה שהמומנט ה-n קיים<math display="block"> \operatorname{E}\left[ X^n\right] = i^{-n}\left[\frac{d^n}{dt^n}\varphi_X(t)\right]_{t=0} = i^{-n}\varphi_X^{(n)}(0) ,\!</math>

קישורים חיצוניים

• פונקציה אופיינית, באתר MathWorld (באנגלית)