התפלגות בוז-איינשטיין

התפלגות בוז-איינשטיין (או סטטיסטיקת בוז-איינשטיין) היא פונקציית התפלגות סטטיסטית שבעזרתה ניתן לתאר תכונות של בוזונים (חלקיקים בעלי ספין שלם) זהים חסרי אינטראקציה. ההתפלגות קרויה על שם הפיזיקאי ההודי סאטינדרה נאת בוז, שפיתח אותה ב-1920 עבור פוטונים, ועל שם אלברט איינשטיין, שהכליל אותה עבור אטומים ב-1924.

באופן מפורש, האכלוס הממוצע של רמת אנרגיה מסוימת במערכת של בוזונים זהים הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי הוא

<math> n_{i} = \frac{g_{i}}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k_B T} - 1} </math>.

כאן

• <math> \ n_{i} </math> הוא המספר הממוצע של חלקיקים שימצאו במצב ה-<math>\ {i}</math>.
• <math> \ g_{i} </math> היא דרגת הניוון של המצב ה-<math>\ {i}</math>.
• <math>\ \epsilon_{i}</math> היא האנרגיה של המצב ה-<math>\ {i}</math>.
• <math>\ \mu</math> הוא הפוטנציאל הכימי.
• <math>\ T</math> היא הטמפרטורה.
• <math> \ k_B</math> הוא קבוע בולצמן.

הבוזונים הם חלקיקים בעלי פונקציית גל סימטרית. בניגוד לפרמיונים, המצייתים לעקרון פאולי ולהתפלגות פרמי-דיראק, הבוזונים יכולים להימצא באותו מקום ובאותו מצב שבו נמצאים חלקיקים זהים נוספים.

בשימוש בהתפלגות בוז-איינשטיין, ותוך ידיעת צפיפות המצבים <math>\ g(\epsilon)</math>, ניתן לחשב תכונות תרמודינמיות שונות של המערכת. לדוגמה, האנרגיה הממוצעת נתונה על ידי:

<math display="block">\ U = \int \epsilon g(\epsilon) n_{BE}(\epsilon) d\epsilon </math>

פיתוח

את התפלגות בוז-איינשטיין ניתן לקבל בקלות על ידי שימוש בצבר הגרנד קנוני. במסגרת צבר זה, ההסתברות למציאת מערכת במצב i עם <math>\ N_i </math> חלקיקים ואנרגיה כוללת <math>\ E_i</math> נתונה על ידי <math> P_i = \frac{1}{\mathcal{Z}}e^{- \frac{(E_i-\mu N_i)}{k_BT}}</math>, כאשר <math>\mathcal{Z}=\sum_{i}e^{- \frac{(E_i-\mu N_i)}{k_BT}}</math> היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית.

ניקח כמערכת רמת אנרגיה (חד-חלקיקית) מסוימת <math>\epsilon</math>. אם אין אינטראקציה בין החלקיקים <math>\ E_i = n\epsilon</math> כאשר <math>\ n=N_i </math> הוא מספר החלקיקים הנמצאים ברמה זו. כאשר מדובר בבוזונים אין הגבלה על ערכי n כלומר <math>\ n=0,1,\dots</math>. פונקציית החלוקה במקרה זה תהיה <math>\mathcal{Z}=\sum_n e^{-\beta(\epsilon-\mu)n}=\frac{1}{1-e^{-\beta(\epsilon-\mu)}}</math>. מכאן ניתן לקבל את מספר החלקיקים הממוצע על ידי שימוש ב-<math> \lang n \rang = -\frac{\partial\Omega}{\partial\mu}</math> כאשר <math>\Omega = -k_B T\ln\mathcal{Z} </math>.

ראו גם

• עיבוי בוז-איינשטיין
• התפלגות פרמי-דיראק

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא [[commons:Category:{{#property:P373}}|התפלגות בוז-איינשטיין]] בוויקישיתוף

• התפלגות בוז-איינשטיין, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

קובץ:P physics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.