התפלגות בינומית שלילית

התפלגות בינומית שלילית

פונקציית ההסתברות
קובץ:Negbinomial.gif
מאפיינים
פרמטרים	<math>p</math> – ההסתברות "להצלחה" <math>r</math> – מספר הכישלונות הרצוי
תומך	<math>k\in \{0,1,2, 3,...\}</math>
פונקציית הסתברות (pmf)	<math> P_X(k) = {r+k-1 \choose k} (p)^k (1-p)^r </math>
תוחלת	<math>\frac{r}{p}</math>
שונות	<math>\frac{r(1-p)}{p^2}</math>

בתורת ההסתברות, התפלגות בינומית שלילית היא התפלגות בדידה המתארת את מספר ההצלחות בסדרת ניסויי ברנולי בלתי תלויים לפני שמתרחשים מספר כישלונות קבוע נתון מראש, <math>r</math>. לדוגמה, אם מטילים מטבע שוב ושוב, כישלון יוגדר כעץ, וסדרת ההטלות תיעצר כאשר יתקבל עץ בפעם השלישית (אם <math>r=3</math>), אז מספר ההצלחות (קבלת "פלי") יתפלג באופן בינומי שלילי.

אם ההסתברות להצלחה בכל ניסוי היא <math>p</math> וההסתברות לכישלון היא <math>1-p</math>, אז מספר ההצלחות האקראי, <math>X</math>, יתפלג התפלגות בינומית שלילית עם הפרמטרים <math>r</math> ו־<math>p</math> ומסמנים זאת כך:

<math> X\ \sim\ \text{NB}(r,\, p)</math>

משתנה מקרי <math>X</math> מתפלג נקודתית:

<math> P_X(k) = {r+k-1 \choose k} (p)^k (1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dots </math>

כאשר הביטוי בסוגריים הוא המקדם הבינומי ושווה:

<math>{r+k-1 \choose k} = \frac{(r+k-1)!}{k!\,(r-1)!} </math>

תוחלת של משתנה מקרי בינומי שלילי היא <math>\frac{r}{p}</math> והשונות <math>\frac{r(1-p)}{p^2}</math>

התפלגויות קשורות

	עם החזרה	בלי החזרה
מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות	התפלגות בינומית	התפלגות היפרגאומטרית
מספר הוצאות עד מספר הצלחות	התפלגות בינומית שלילית	התפלגות היפרגאומטרית שלילית

קישורים חיצוניים

• התפלגות בינומית שלילית, באתר MathWorld (באנגלית)