תורת הקבוצות – מונחים

• תורת הקבוצות: ענף במתמטיקה העוסק בתכונותיהן של קבוצות, ומשמש כבסיס לאקסיומטיזציה של המתמטיקה.
  • תורת הקבוצות הנאיבית: ניסוח אינטואיטיבי של הרעיונות היסודיים של תורת הקבוצות, כפי שהתפתחה במשך השנים.
  • תורת הקבוצות האקסיומטית: גרסה פורמלית, בעלת ביסוס אקסיומטי מוצק, של תורת הקבוצות, שפותחה כדי למנוע סתירות ופרדוקסים כדוגמת הפרדוקס של ראסל.

• קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם.

• תת קבוצה: קבוצה <math>B</math> היא תת קבוצה של הקבוצה <math>A</math> אם כל איבר של <math>B</math> שייך גם ל-<math>A</math>. נסמן זאת בצורה: <math>B\subseteq A</math>.

• הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן <math>\emptyset</math> (שמקורו באות הנורווגית "Ø" ) או בצורה {}.
• יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.
• פעולות על קבוצות:
  • איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד. איחוד מסומן בדרך כלל כך: <math>A\cup B</math>.
    • הפעולה איחוד היא קומוטטיבית (חילופית) ואסוציאטיבית (קיבוצית).
  • חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך. חיתוך מסומן בדרך כלל כך: <math>A\cap B</math>.
    • הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
      • מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math> ו-<math>A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)</math>
  • הפרש: ההפרש בין <math>A</math> ל־<math>B</math> הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־<math>A</math> ולא שייכים ל־<math>B</math>.
    • פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
  • הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות <math>A</math> ו-<math>B</math> הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי <math>A</math> שלא שייכים ל-<math>B</math> וכל איברי <math>B</math> שלא שייכים ל־<math>A</math> - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
    • הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
  • מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות <math>A,B</math> היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאיברם הראשון שייך ל-<math>A</math> והשני שייך ל-<math>B</math>. ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
    • הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
  • בחירה
• קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
• קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.

• עוצמה: מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר איבריה. עוצמה של קבוצה <math>A</math> תסומן <math> \left|A\right| </math>.
  • <math>\aleph_0</math> (אָלֶף אֶפֶס): עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים.
  • <math>\aleph</math> או <math>\mathfrak{c}</math>: עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, נקראת גם עוצמת הרצף.

• השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין <math>\aleph_0</math> ו-<math>\aleph</math>, זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZFC).

• קבוצה בת מנייה: קבוצה סופית או אינסופית שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים (אלף אפס).
• קבוצה שאינה בת מנייה: קבוצה שעוצמתה גדולה מאלף אפס ולכן לא ניתן לספור את כל איבריה.
• קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה <math>A</math> תסומן <math>\mathcal{P}(A)</math>.

• יחס (בינארי): קבוצה שמכילה זוגות סדורים, כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - <math>A</math>, והאיבר השני בא מקבוצה נוספת - <math>B</math> (לא בהכרח שונה מ-<math>A</math>). בכתיב פורמלי: קבוצה <math>R</math> תיקרא יחס מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> אם <math>\!\,R\subseteq A\times B</math>.
  • פונקציה: יחס בו לכל איבר של <math>A</math> קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו.
    • פונקציה חד-חד ערכית: פונקציה <math>\!\,f:X\rarr Y </math> תקרא חד-חד ערכית (חח"ע) אם לכל <math>y</math> בטווח <math>Y</math> קיים לכל היותר <math>x</math> אחד בתחום <math>X</math> המקיים <math>\!\,f(x)=y</math>.
    • פונקציה על: פונקציה <math>\!\,f:X\rarr Y </math> תקרא על אם לכל <math>y</math> בטווח <math>Y</math> קיים לפחות <math>x</math> אחד בתחום <math>X</math> המקיים <math>\!\,f(x)=y</math>.
    • פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל <math>y</math> קיים <math>x</math> יחיד כך ש-<math>f(x)=y</math> (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
  • יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה <math>A</math> המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
  • סדר חלקי: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי סימטריות וטרנזיטיביות.
    • סדר מלא: סדר מלא הוא סדר חלקי בו כל שני איברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
      • סדר טוב: סדר טוב הוא סדר מלא בו לכל תת-קבוצה יש איבר מינימלי.
    • שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).

• קבוצת כל הפונקציות מקבוצה <math>A</math> לקבוצה <math>B</math>: קבוצה המסומנת <math>B^A</math> והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה <math>A</math> אל תוך הקבוצה <math>B</math>.

• הפרדוקס של ראסל: פרדוקס שהראה שתורת הקבוצות הנאיבית מכילה סתירות, והוביל לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.

• ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.

• משפטים:
  • משפט קנטור (לקבוצת החזקה): משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. המשפט קובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת התת-קבוצות שלה.
  • האלכסון של קנטור: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
  • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה <math>A</math> לקבוצה <math>B</math>, וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה <math>B</math> לקבוצה <math>A</math>, אז שתי הקבוצות שקולות.