קבוצת החזקה

בתורת הקבוצות, קבוצת החזקה של קבוצה נתונה <math>A</math> היא קבוצת כל תת הקבוצות של <math>A</math>, ומסמנים אותה ב־<math> \mathcal{P}(A)</math>. פורמלית <math> \mathcal{P}(A) = \{B \mid B \subseteq A\}</math>, ולדוגמה: <math> \mathcal{P}\left(\left\{x,y\right\}\right)=\left\{\emptyset, \left\{x\right\},\left\{y\right\},\left\{x,y\right\}\right\}</math>. במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קיומה של קבוצת חזקה נובע ישירות מאקסיומת קבוצת החזקה.

תכונות

• כל קבוצה מכילה את עצמה ואת הקבוצה הריקה, ועל כן שני אלו הם איברים בקבוצת החזקה.
• ניתן להוכיח כי עוצמת קבוצת החזקה של קבוצה סופית כלשהי <math>A</math> שווה ל־<math>2^{|A|}</math> (שתיים בחזקת עוצמת <math>A</math>), ובניסוח מתמטי: <math> \left|\mathcal{P}(A)\right|=2^{|A|}</math>. בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא אינסופי, נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של <math>A</math> בסימון <math>2^{|A|}</math>, ויש המסמנים את קבוצת החזקה עצמה ב־<math>2^A</math>.
• קבוצת החזקה של <math>A</math> איזומורפית לקבוצת הפונקציות המציינות של תת־קבוצות של <math>A</math>, היא <math>\{0,1\}^A = \{f \mid f \colon A \to \{0,1\}\}</math> (כל תת־קבוצה <math>B \subseteq A</math> מתאימה לפונקציה המציינת שלה <math>\mathbf{1}_B \in \{0,1\}^A</math>). לכן הסימון <math>2^{|A|}</math> לעוצמת קבוצת החזקה עקבי עם כללי האריתמטיקה של עוצמות (שלפיהם <math>2^{|A|}=|\lbrace 0,1 \rbrace^A|</math>). זו המוטיבציה לסימון <math>2^A</math> שיש הנוקטים בו עבור קבוצת החזקה של <math>A</math> ("<math>2</math>" מתאים לקבוצה בת שני האיברים <math>\{0,1\}</math>).
• משפט קנטור מראה כי אי השוויון <math> \left|\mathcal{P}(A)\right|>|A|</math> שפשוט יחסית להוכיחו לקבוצות סופיות, נכון לכל קבוצה <math>A</math>.

ראו גם

• הפרדוקס של קנטור
• מונחים בתורת הקבוצות

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא [[commons:Category:{{#property:P373}}|קבוצת החזקה]] בוויקישיתוף

• קבוצת החזקה, באתר MathWorld (באנגלית)