פונקציה חד-חד-ערכית ועל

קובץ:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציה חד-חד-ערכית ועל (נקראת גם בִּייקציָה; באנגלית: Bijection) מקבוצה X (התחום) לקבוצה Y (הטווח) היא פונקציה המתאימה לכל איבר של X איבר אחד ויחיד של Y, כך שכל איבר ב Y מותאם לאיבר ב X. פונקציה חח"ע (חד חד ערכית) ועל נקראת "פונקציה הפיכה" וגם זיווג.

באופן פורמלי: <math>f:X\rarr Y</math> חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם לכל <math>b\in Y</math> קיים <math>a\in X</math> יחיד כך ש <math>f(a) = b</math>. בתנאי זה, קיומו של <math>a</math> מבטא את העובדה שהפונקציה היא פונקציה על, והיחידות שלו (כלומר העובדה שלא קיימים <math>a, a'</math> שונים שעבורם <math>f(a) = f(a')</math>), מבטאת את העובדה שהפונקציה חד-חד-ערכית.

דוגמאות

• מכירת כרטיסי קולנוע יוצרת התאמה בין קהל הצופים לבין הכיסאות שבאולם הקולנוע. כאשר כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית ועל - לכל כיסא באולם הקולנוע מותאם צופה אחד ויחיד. כאשר לא כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית שאינה על - יש כיסאות פנויים באולם.
• פונקציה המתאימה לכל מספר זוגי את החצי שלו (כלומר מתאימה ל-2 את 1, ל-4 את 2, ל-6 את 3 וכו') היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים הזוגיים לקבוצת המספרים הטבעיים.

קובץ:Algebra1 fnz fig042 par.svg

גרף פונקציה <math>y=x^2</math> בתחום <math>[-2,2]</math>

• הפונקציה <math>y=x^2</math> היא חד-חד-ערכית ועל בתחום <math>f:[0, \infty) \rightarrow [0, \infty)</math>, משום שכל ערך של y בקטע הממשי <math>[0, \infty)</math> מתקבל בדיוק פעם אחת. הפונקציה איננה חד-חד-ערכית בתחום <math>f:(-\infty, \infty) \rightarrow [0, \infty)</math> משום שכל ערך של y בקטע הממשי <math>(0, \infty)</math> מתקבל פעמיים (הערך 4, למשל, הוא <math>f(2)</math> וגם <math>f(-2)</math>).
• הפונקציה <math>y=x^3</math> היא חד-חד-ערכית ועל בתחום <math>f:[-1, 1] \rightarrow [-1, 1]</math>, משום שכל ערך של y בקטע הממשי <math>[-1,1]</math> מתקבל בדיוק פעם אחת.

דיאגרמות להמחשה

• פונקציה חד-חד-ערכית ועל
  פונקציה חד-חד-ערכית ועל
• פונקציה חד-חד-ערכית שאינה על
  פונקציה חד-חד-ערכית שאינה על
• פונקציה על שאינה חד-חד-ערכית
  פונקציה על שאינה חד-חד-ערכית
• פונקציה שאינה חד-חד-ערכית ואינה על
  פונקציה שאינה חד-חד-ערכית ואינה על
• מיפוי שאינו פונקציה כי חסר יעד ייחודי לאחד המקורות
  מיפוי שאינו פונקציה כי חסר יעד ייחודי לאחד המקורות

תכונות ושימושים

• אם קיימת פונקציה כזו בין <math>X</math> ל-<math>Y</math>, הקבוצות <math>X</math> ו-<math>Y</math> נקראות "שקולות" והן בעלות אותה העוצמה.
• פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם היא הפיכה, ולכן היא מגדירה יחס שקילות בין קבוצות על פי עוצמתן ובפרט יחס סימטרי.
• אם על הקבוצות <math>X,Y</math> מוגדר מבנה נוסף (פעולות אלגבריות, טופולוגיה, מטריקה וכדומה), אז פונקציה חד-חד-ערכית ועל ביניהן השומרת על המבנה נקראת איזומורפיזם.
• פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה אל עצמה נקראת תמורה.
• אוסף התמורות על קבוצה <math>X</math> הוא חבורת הסימטריות של הקבוצה; לדוגמה, הפונקציה המתאימה לכל מספר שלם את העוקב שלו, היא תמורה על המספרים השלמים.
• פונקציות חד-חד-ערכיות ועל הן מאבני הבניין של צפנים סימטריים מודרניים רבים בקריפטוגרפיה.

ראו גם

• תמורה (מתמטיקה)
• פונקציה הפיכה

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא [[commons:Category:{{#property:P373}}|פונקציה חד-חד-ערכית ועל]] בוויקישיתוף

• פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר MathWorld (באנגלית)

קובץ:P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.