חיתוך (מתמטיקה)
פעולות נוספות
בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, החיתוך של שתי קבוצות <math>A</math> ו-<math>B</math> הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב-<math>A</math> ששייכים גם ל-<math>B</math> (או באופן שקול, כל האיברים ב-<math>B</math> ששייכים גם ל-<math>A</math>), ורק אותם. החיתוך של <math>A</math> ו-<math>B</math> נכתב בדרך כלל כך: <math>A\cap B</math>.
מבחינה פורמלית:
חיתוך כלשהו עריכה
בדומה לאיחוד ולפעולות אחרות בתורת הקבוצות, אפשר להגדיר את החיתוך של משפחה כלשהי של קבוצות. נניח כי <math>\left\{A_i\right\}_{i\isin\Lambda}</math> היא משפחה של קבוצות (כלומר, קבוצה של קבוצות שכל אחת מזוהה על ידי אינדקס <math>i</math> השייך לקבוצת אינדקסים <math>\Lambda</math>), אז החיתוך שלהן יסומן <math>\bigcap_{i\isin\Lambda} A_i</math>, והגדרתו היא ש-<math>x\isin \bigcap_{i\isin\Lambda} A_i</math> אם ורק אם לכל <math>k\isin\Lambda</math> מתקיים <math>x\isin A_k</math>.
אם קבוצת האינדקסים <math>\Lambda</math> ריקה, אומרים שהחיתוך הוא חיתוך ריק, השווה כביכול לקבוצה האוניברסלית שכל דבר הוא איבר שלה. על-מנת להבטיח שהחיתוך יהיה קבוצה, מגדירים את החיתוך של משפחת קבוצות בתוך מרחב נתון <math>X</math>, ואז החיתוך של משפחה ריקה שווה, כעניין שבהגדרה, למרחב <math>X</math> כולו.
דוגמאות עריכה
- אם <math>A=\left\{t,2,3,4\right\},B=\left\{4,5,r,t\right\}</math> אז <math>A\cap B=\left\{t,4\right\}</math>
- אם <math>B\subseteq A</math> (<math>B</math> הוא קבוצה חלקית של <math>A</math>) אז <math>A\cap B=B</math>.
- אם <math>B=\emptyset</math> (קבוצה ריקה) אז לכל <math>A</math> מתקיים <math>A\cap B=\emptyset</math>. (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
- אם <math>A_n=\left\{1,2,\dots,n\right\}</math> אז <math>\bigcap_{n\isin\mathbb{N}} A_n=\left\{1\right\}</math>.
- בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת האיחוד:
- בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות <math>A_n</math>, אז הקבוצה <math>\bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k\ge n} A_k</math> היא קבוצת כל האיברים שמופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס <math>n</math> כלשהו.
- בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות <math>A_n</math>, אז הקבוצה <math>\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k\ge n} A_k</math> היא קבוצת כל האיברים שמופיעים במספר אינסופי של קבוצות.
- (שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה הגבול התחתון והגבול העליון של סדרת הקבוצות <math>A_n</math>, ומסומנות <math>\liminf A_n</math> ו-<math>\limsup A_n</math>).
קישורים חיצוניים עריכה
| נושאים בתורת הקבוצות | ||
|---|---|---|
| מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה | |
| פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית | |
| יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס אנטי-סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • יחס הופכי | |
| פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור | |
| משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב | |
| סדר | סדר חלקי • סדר מלא • סדר טוב • טיפוס סדר • מספר סודר | |
| עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף | |
| אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה | |
| שונות | הפרדוקס של ראסל • השערת הרצף | |