אינטגרל

קובץ:Integral as region under curve.png

עבור פונקציה חיובית <math display="inline">f(x)</math>, האינטגרל המסוים <math>\int_a^b f(x) \,dx</math> הוא השטח <math display="inline">S</math> הכלוא מתחת לגרף הפונקציה.

אִינְטֶגְרָל או אַסְכֶּמֶת הוא מושג מתמטי בתחום החשבון האינפיניטסימלי, המהווה (עבור פונקציה ממשית) הכללה מתמטית של מושג הסכום. לאינטגרל שימושים רבים ביותר, וּבהם חישוב שטח של תחום מישורי, נפח של מרחב רב־ממדי, מסה של גוף, אורך של מסילה עקומה, הסתברות של משתנים מקריים רציפים, כוח הפועל בין שני גופים, אנרגיית החום הכוללת של אמבט, מהירות מקומו המרחבי של גוף הנע בהשפעת כוח בעל עוצמה משתנה ועוד.

המושג הכללי של אינטגרל כולל בתוכו שני מושגים שונים לכאורה: האינטגרל המסוים והאינטגרל הלא־מסוים.

• האינטגרל המסוים של פונקציה אי־שלילית המוגדרת על קטע סופי, הוא מספר, שבהגדרתו ההיסטורית (הגאומטרית) מציין את השטח הכלוא, בין גרף הפונקציה, לבין ציר ה־<math display="inline">x</math> בקטע נתון שאותו נהוג לאפיין על ידי ההבחנה בין קצהו השמאלי <math display="inline">a</math> לבין הקצה הימני <math display="inline">b</math> (ראו תרשים משמאל). להגדרה זו נמצאה ברבות הימים הגדרה שקולה שנשענה על מושג הסכימה האינסופית, של מכפלות - של אינפיניטסימלים בערכי פונקציה נתונה. לצידן של הגדרות אלה לאינטגרל המסוים יש לו גם הגדרה שנשענת, לא על מושג - השטח/הסכימה (האינסופית) - שבהקשר לפונקציה נתונה, אלא על מציאת פונקציה קדומה כלשהי - שמקיימת תנאי תחילי מסוים (כדלהלן בהמשך הערך) - ושנגזרתה היא פונקציה נתונה.
• האינטגרל הלא־מסוים, או הפונקציה הקדומה (כמושג כולל שלמעשה מאגד אינסוף פונקציות כדלהלן) של <math display="inline">,f</math> מציינים את קבוצת כל הפונקציות הממשיות שנגזרתן שווה ל־<math display="inline">.f</math> לקבוצת הפונקציות מסוג זה נהוג אפוא לקרוא בשם הכוללני: "פונקציה קדומה" של <math display="inline">f</math> (אם כי כשההקשר ברור אז גם כל אחת מהפונקציות שבקבוצה זו יכולה להיקרא באופן אינדיבידואלי "פונקציה קדומה").

קובץ:Что такое интеграл Анимация.gif

מהו אינטגרל (אנימציה)

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע ששני המושגים הללו קשורים באופן הדוק: אם הפונקציה <math display="inline">f</math> אינטגרבילית בקטע <math display="inline">[a,b]</math> (בהמשך יוגדרו התנאים לאינטגרביליות) וגם יש לה פונקציה קדומה, אז האינטגרל המסוים של <math display="inline">f</math> בקטע <math display="inline">[a,b]</math> שווה לביטוי <math display="inline">F(b)-F(a)</math>, כאשר <math display="inline">F</math> מסמנת את הפונקציה הקדומה של <math display="inline">f</math>.

קובץ:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

סימון

את האינטגרל מסמנים בסימן ∫ שניתן על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ ושמקורו ב־S הארוכה שבתחילת המילה הלטינית Summa (סְכוּם), שאותה הוא כתב כ־ſumma. אין לבלבל בינו לבין האות ʃ באלפבית הפונטי הבינלאומי שמובנה אחר.

האינטגרל המסוים

כאמור לעיל, האינטגרל המסוים של פונקציה ממשית, מעל קטע סגור, מוגדר גאומטרית בתור השטח שמתחת לגרף הפונקציה ומעל ציר ה־<math display="inline">x</math> (כאשר השטח שמתחת לציר ה־<math display="inline">x</math> מוגדר כשטח שלילי). כדי לקבל הגדרה גאומטרית מסודרת של האינטגרל, יש לבחון את המשמעות המדויקת של המושג "שטח", במיוחד כאשר הגרף אינו ישר, ואף אינו בהכרח רציף. השטח של מלבן מובן היטב, ואחת הדרכים להגדיר את השטח שמתחת לגרף היא לקרב את הצורה שמתחת לגרף באמצעות מלבנים זרים (וּמקבילים לצירים). בהגדרה זו יש בעיה עקרונית: כל עוד מספר המלבנים סופי, והפונקציה אינה מלבנית, השטח הכולל שלהם אינו אלא קירוב של השטח האמיתי, וניתן לשפר את הקירוב על ידי הקטנת המלבנים והגדלת מספרם.

ברנרד רימן הפך את הבעיה הזו להגדרה של ערך האינטגרל: במקום לחפש את הקירוב הטוב ביותר, שלרוב אינו קיים, מסכמים מלבנים קטנים ורבים יותר, כך שהקירוב ילך וישתפר. בסופו של דבר בוחרים את הגבול של סדרת הסכומים המתקבלת מסדרת הקירובים. גישה דומה, המגיעה לאותן תוצאות, מבוססת על סכומי דארבו: כאן מקרבים את הצורה החוסמת מלמטה ומלמעלה באמצעות מלבנים הכלואים מתחת לגרף ומלבנים הכולאים אותו מלמעלה.

הראשון שהגדיר את האינטגרל המסוים במדויק היה רימן. בעקבותיו הוצעו הכללות רבות: בתחום של פונקציה#תחום ההגדרה של הפונקציה (העשוי להיות הישר הממשי כולו, קובייה במרחב האוקלידי ה־n־ממדי, או כל מרחב קומפקטי מקומית), בערכים שהפונקציה עשויה לקבל (מספרים ממשיים או מרוכבים, מספרים p־אדיים, או וקטורים שאלו רכיביהם), ובאופי הפונקציות שעבורן מחושב האינטגרל.

חלוקה של קטע

סדרה (סופית) של נקודות <math display="inline">a = x_0 < x_1 < \dotsb < x_{n-1} < x_n = b</math> נקראת חלוקה של הקטע <math display="inline">[a,b]</math>. את הסדרה אפשר לפרש כאילו היא מחלקת את הקטע ל־<math display="inline">n</math> תת־קטעים <math display="inline">[x_0,x_1], [x_1,x_2],\dotsc,[x_{n-1},x_n]</math>, החותכים זה את זה רק בנקודות הקצה שלהם. לכל חלוקה <math display="inline">\pi</math> אפשר להגדיר את קוטר החלוקה (או פרמטר החלוקה) באופן הבא: <math>\lambda(\pi) = \max_{1\le i\le n} |x_{i}-x_{i-1}|</math>. מכיוון שסכום אורכי הקטעים הוא <math display="inline">b-a</math>, הקוטר של חלוקה בת <math display="inline">n</math> קטעים הוא לפחות <math display="inline">\frac{b-a}{n}</math>. מכאן שכדי לקרב את קוטר החלוקה לאפס, יש להגדיל את מספר הנקודות באופן שאינו חסום.

חלוקה <math display="inline">\pi'</math> היא עידון של חלוקה <math display="inline">\pi</math>, אם החלוקה הראשונה כוללת את כל הנקודות המופיעות בחלוקה השנייה. לדוגמה, <math display="inline">a = x_0 < x_1 < x_2 < x_3 = b</math> מעדנת את <math display="inline">a = x_0 < x_2 < x_3 = b</math>. ברור שבמקרה כזה, <math display="inline">\lambda(\pi') \leq \lambda(\pi)</math>.

הגדרת האינטגרל המסוים באמצעות סכומי רימן

קובץ:Postscript-viewer-blue.svg ערך מורחב – אינטגרל רימן

קובץ:Riemann sum convergence.png

התכנסות סכומי רימן לאינטגרל: בכחול מתוארת חלוקה שבה בוחרים בכל תת־קטע את הנקודה הימנית; בצהוב – הנקודה השמאלית; בירוק – נקודת המקסימום בתת־קטע; וּבאדום – נקודת המינימום. הגרף שבמרכז מתאר את התנהגות ארבעת הקירובים כאשר מספר המלבנים גדל. מכיוון שהפונקציה אינטגרבילית, כל הקירובים שואפים לאותו ערך.

בחלוקה נתונה <math display="inline">a = x_0 < x_1 < \dotsb < x_{n-1} < x_n = b</math>, אפשר לבחור נקודה <math display="inline">\xi_i \in [x_{i-1},x_i]</math> מכל תת־קטע. חלוקה כזו, יחד עם הנקודות שנבחרו מהתת־קטעים, נקראת חלוקה מסומנת. לחלוקה כזו אפשר להגדיר את סכום רימן <math> \sigma(f,\pi) = \sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i) \cdot |x_i - x_{i-1}|}</math>. זהו השטח הכולל של המלבנים שבסיסם הוא הקטע <math display="inline">[x_{i-1},x_i]</math> וגובהם <math display="inline">f(\xi_i)</math> (עבור <math display="inline">i=1,\dotsc,n</math>), כאשר השטח הוא "שטח מכוון" (העשוי להיות חיובי או שלילי, בהתאם לסימן של הפונקציה בנקודה <math display="inline">\xi_i</math>). כל סכום רימן מהווה קירוב לשטח שמתחת לגרף הפונקציה, בקטע המדובר <math display="inline">[a,b]</math>.

פונקציה <math display="inline">f(x)</math>, המוגדרת בקטע <math display="inline">[a,b]</math>, היא אינטגרבילית לפי רימן, אם לכל בחירה של סדרת חלוקות מסומנות <math display="inline">\pi_1,\pi_2,\dotsc</math> בעלות גדלים <math display="inline">\lambda(\pi_m)</math> השואפים לאפס, הגבול <math>\lim_{m \rightarrow \infty} \sigma(f,\pi_m) </math> קיים (היינו, הסדרה מתכנסת). במקרה כזה, כל הגבולות <math>\lim_{m \rightarrow \infty} \sigma(f,\pi_m) </math> שווים זה לזה, והאינטגרל המסוים מוגדר כערך (המשותף) של כל הגבולות; ערך זה הוא השטח שבין גרף הפונקציה לציר ה־<math display="inline">x</math>. אם לא כל הגבולות האלה קיימים, הפונקציה אינה אינטגרבילית לפי רימן.

הגדרה האינטגרל המסוים באמצעות סכומי דארבו

קובץ:Postscript-viewer-blue.svg ערך מורחב – אינטגרל דארבו

קובץ:RightRiemann2.PNG

חישוב הסכום העליון של פונקציה

קובץ:LeftRiemann2.png

חישוב הסכום התחתון של פונקציה

נניח ש־ <math>f</math> חסומה בקטע הסגור <math display="inline">[a,b]</math>. לכל חלוקה <math>\pi</math>, אפשר לחשב בנפרד את השטח שהחלוקה מאתרת מתחת לגרף, ואת השטח שהחלוקה מאתרת מעל לגרף. לצורך כך נסמן בכל תת-קטע <math>[x_{i-1},x_{i}]</math> של החלוקה, את החסם העליון של הפונקציה ב־ <math>M_i</math>, ואת החסם התחתון ב־ <math>m_i</math> (אם לפונקציה יש בתת-הקטע הזה ערך מינימלי או מקסימלי, אלו יהיו הערכים של <math>m_i</math> ושל <math>M_i</math> בהתאמה). באופן הזה, מובטח ש־ <math>m_i \leq f(t) \leq M_i</math> לכל <math>t</math> בתת-הקטע. משום כך סביר לקבוע ששטחו של התחום המישורי המוגבל על ידי ציר ה־x, גרף הפונקציה, והישרים <math>x=x_{i-1}</math> ו־ <math>x=x_{i}</math>, גדול או שווה לשטח המלבן <math>m_i|x_i-x_{i-1}|</math>, וקטן (או שווה) לשטח המלבן <math>M_i|x_i-x_{i-1}|</math>.

אם נסכם את כל המלבנים, הסכום <math>\underline{S}(\pi) = \sum_{i=1}^{n} m_i|x_i-x_{i-1}|</math> נקרא הסכום התחתון של החלוקה, ואילו <math>\overline{S}(\pi) = \sum_{i=1}^{n} M_i|x_i-x_{i-1}|</math> הוא הסכום העליון שלה. קל להוכיח שאם <math>\pi'</math> מהווה עידון של <math>\pi</math>, אז <math>\underline{S}(\pi) \leq \underline{S}(\pi') \leq \overline{S}(\pi') \leq \overline{S}(\pi)</math>, ולכן, כאשר מעדנים את החלוקה, המרחק בין הסכום העליון לתחתון מצטמצם.

החסם התחתון של כל הסכומים העליונים <math>\overline{S}(\pi)</math>, עבור כל החלוקות האפשריות, הוא האינטגרל העליון. החסם העליון של כל הסכומים התחתונים <math>\underline{S}(\pi)</math> הוא האינטגרל התחתון. הפונקציה אינטגרבילית לפי דארבו, אם שני ערכים אלו שווים זה לזה (פירושו של השוויון הוא שקיימת סדרה של חלוקות <math>\pi_n</math> המעדנות זו את זו, כך שההפרש <math>\overline{S}(\pi_n)-\underline{S}(\pi_n)</math> שואף לאפס).

אפשר להוכיח שהגדרת אינטגרביליות של פונקציה חסומה באמצעות סכומי רימן שקולה להגדרה באמצעות סכומי דארבו, ושהאינטגרל המתקבל בשני המקרים שווה. ההגדרה שנתנה לעיל מתאימה לפונקציות חסומות, ולחישוב מעל קטע סגור. עם זאת, אפשר להרחיב את ההגדרה גם למקרים כלליים יותר – ראו אינטגרל לא אמיתי.

סימון האינטגרל המסוים

את ערך האינטגרל המסוים מסמנים כך: <math display="inline">\int_a^b f(x) \,dx</math>. הביטוי שבתוך האינטגרל, <math display="inline">f(x)</math>, נקרא אינטגרנד. המשתנה <math display="inline">x</math> בביטוי זה הוא "משתנה האינטגרציה", והוא קשור לתחום האינטגרציה – המשמעות היא שהנקודה השמאלית בתחום היא <math display="inline">x=a</math> והנקודה הימנית היא <math display="inline">x=b</math>.

החלפת משתנים

ניתן להחליף את משתנה האינטגרציה, אך אז כדי לשמור על ערך האינטגרל המסוים יש לשנות את תחום האינטגרציה בהתאמה. לדוגמה, אם <math display="inline">t=kx</math>, אזי מתקיים: <math>\int_a^b f(x) \,dx = \int_{ka}^{kb} \tfrac{1}{k}f(\tfrac{t}{k}) \,dt</math>.

מרחב הפונקציות האינטגרביליות

הסכום של פונקציות אינטגרביליות (לפי רימן) והכפולה של פונקציה אינטגרבילית בסקלר נותנים פונקציות אינטגרביליות; לכן אוסף הפונקציות האינטגרביליות מעל קטע קבוע <math display="inline">[a,b]</math> מהווה מרחב וקטורי מעל שדה המספרים הממשיים, ואף מוגדרת בו מכפלה פנימית.

משפט לבג מאפיין אינטגרביליות באופן הבא: פונקציה חסומה היא אינטגרבילית במובן רימן, אם ורק אם קבוצת נקודות אי־הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס.

לדוגמה, כל פונקציה רציפה וכל פונקציה מונוטונית בקטע סגור, היא אינטגרבילית. גם פונקציית רימן אינטגרבילית (והאינטגרל שלה הוא אפס). לעומת זאת, פונקציית דיריכלה אינה אינטגרבילית לפי רימן.

ההתאמה <math>f \mapsto \int_a^b\!\! f(x)dx</math> היא פונקציונל ליניארי המוגדר על המרחב הזה, משום שהאינטגרל של פונקציות מקיים את התכונה <math>\int_a^b{[c_{1}f(x)+c_{2}g(x)]dx} = c_1\int_a^b{f(x)dx} + c_2\int_a^b{g(x)dx}</math>. האינטגרל מונוטוני, במובן הבא: אם <math>f,g</math> אינטגרביליות בקטע <math display="inline">[a,b]</math>, ולכל <math>x\isin [a,b]</math> מתקיים <math>f(x) \ge g(x)</math>, אז <math>\int_a^b{f(x)dx} \ge \int_a^b{g(x)dx}</math> ואם <math>f(x) > g(x)</math> לכל <math display="inline">x \in [a,b]</math> אז מתקיים אי השוויון החזק <math>\int_a^b{f(x)dx} > \int_a^b{g(x)dx}</math>.

הגדרת האינטגרל המסוים שאינה נשענת על מושג השטח/הסכום

מהמשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי נובע כי: לגבי כל קטע סגור, שמכיל מספר נתון <math display="inline">,a</math> שבאמצעותו מסומנת - פונקציה נתונה <math display="inline">b \mapsto F_a(b)</math> של המשתנה <math display="inline">b</math> [בקטע] - שהיא פונקציה קדומה שנגזרתה היא פונקציה נתונה <math display="inline">,f</math> מתקיים (עבור <math display="inline">b</math> נתון שבקטע) <math display="inline">F_a(b)=\int_a^b f(x) \,dx</math> ובלבד שמתקיים <math display="inline">.F_a(a)=0</math>

ובפירוט: אמנם [בהינתן קטע סגור], יש אינסוף פונקציות קדומות שנגזרתן היא פונקציה נתונה <math display="inline">f</math> [שרציפה בקטע], שהרי כולן מהצורה <math display="inline">F(b)+C</math> בעוד שהקבוע <math display="inline">C</math> שרירותי, אבל בהינתן מספר <math display="inline">a</math> [מהקטע] ומשתנה <math display="inline">b</math> [בקטע], הפונקציה <math display="inline">f</math> [שרציפה בקטע] היא נגזרת של פונקציה קדומה יחידה <math display="inline">b \mapsto F_a(b)</math> שמקיימת את התנאי התחילי <math display="inline">F_a(a)=0</math> (למעשה זהו תנאי תחילי סטנדרטי שמספיק לקיומה היחיד של הפונקציה הקדומה <math display="inline">b \mapsto F_a(b)</math> שנגזרתה היא <math display="inline">,f</math> בעוד שתנאי תחילי אחר - שייבחר על ידי שינוי המספר אפס שבאגף הימני שבתנאי התחילי הקודם - יספיק לקיומה היחיד של פונקציה קדומה אחרת שנגזרתה היא <math display="inline">.(f</math> לפיכך: הואיל ולפי המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי, הפונקציה הקדומה <math display="inline">b \mapsto F_a(b)</math> שנגזרתה היא <math display="inline">f</math> מקיימת (כפי שמקיימת באופן אנלוגי כל פונקציה קדומה <math display="inline">F</math> שנגזרתה היא <math display="inline">(f</math> את השויון <math display="inline">,\int_a^b f(x) \,dx=F_a(b)-F_a(a)</math> לכן היא הפונקציה היחידה שמקיימת גם <math display="inline">.\int_a^b f(x) \,dx=F_a(b)</math>

לדוגמה: את פונקציית הלוגריתם הטבעי <math display="inline">,\ln</math> כפונקציית אינטגרל מסוים (כדלהלן), ניתן (ולעיתים גם נהוג) להגדיר-ראשונית - לא על ידי מושג השטח/הסכום אלא - בתור פונקציה שלגביה הן היא פונקציה קדומה שנגזרתה היא הפונקציה <math display="inline">f(x)=\frac{1}{x}</math> והן <math display="inline">.\ln(1)=0</math> הגדרה זו שקולה להגדרת הפונקציה <math display="inline">\ln</math> כפונקציית אינטגרל מסוים <math display="inline">\ln(b)=\int_1^b \frac{dx}{x}</math> (תוך פסילת כל אפשרות אחרת כגון <math display="inline">\ln(b)=\int_0^b \frac{dx}{x}</math> או <math display="inline">\ln(b)=\int_2^b \frac{dx}{x}</math> וכדומה), כפי שנובע-לוגית מצירוף: ההגדרה הראשונית הנ"ל של הפונקציה <math display="inline">,\ln</math> עם ההגדרה (המובאת בראש-פרק זה) של כל אינטגרל מסוים שאינה נשענת על מושג השטח/הסכום, בהצבת <math display="inline">a=1</math> ובהצבת <math display="inline">.\ln=F_a=F_1</math>

חישוב ערך האינטגרל המסוים

הנוסחה היסודית של החשבון האינפיניטסימלי מחשבת את ערך האינטגרל המסוים, אם ידועים: הן קצות הקטע שעליו מחושב האינטגרל המסוים, והן האינטגרל הלא־מסוים (ראו להלן בהמשך הערך). אם האינטגרל הלא מסוים נתון כביטוי מפורש - אז גם ערך האינטגרל המסוים יתקבל כביטוי מפורש, אחרת לקבלת ערך האינטגרל המסוים יש להפעיל - שיטות אנליטיות מיוחדות - או שיטות נומריות.

האינטגרל הלא מסוים

הגדרה

פונקציה <math>F\left(x\right)</math> נקראת פונקציה קדומה של <math>f\left(x\right)</math> בקטע כלשהו, אם לכל נקודה x בקטע מתקיים:<math>F'\left(x\right)=f(x)</math>, כלומר <math>f\left(x\right)</math> היא הנגזרת של <math>F\left(x\right)</math> בקטע.

האינטגרל הלא מסוים של פונקציה <math>f(x)</math> המוגדרת בשדה F כלשהו מוגדר לרוב בתור אוסף הפונקציות הקדומות שלו. בסימון: <math>\int\!\! f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C</math>, כאשר <math>F(x)</math> היא פונקציה קדומה של <math>f(x)</math> ו־<math>C\isin\mathbb{F}</math> הוא קבוע שרירותי.

ניתן להצדיק את הסימון בכך שכל הפונקציות הקדומות של פונקציה ניתנות לכתיבה בתור קבוע ועוד פונקציה קדומה כלשהי. מצד אחד, אם <math>F'(x)=f(x)</math> אז ברור כי גם <math>\left(F(x)+C\right)'=f(x)</math> כי נגזרת של קבוע היא 0. מצד שני, אם <math>F(x),G(x)</math> פונקציות קדומות של <math>f(x)</math> אז מתקיים <math>\left(F(x)-G(x)\right)'=f(x)-f(x)=0</math>, כלומר הפונקציה <math>F(x)-G(x)</math> קבועה, כלומר <math>F(x)-G(x)=C</math>, כנדרש.

בהינתן פונקציה <math>f(x)</math> אינטגרבילית בקטע הסגור <math>[a,b]</math> ניתן להגדיר פונקציה באופן הבא:

<math>\forall x \in [a,b] : \ \ \ F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t</math>

ערכה של פונקציה זו בכל נקודה הוא ערך האינטגרל המסוים של <math>f(x)</math> בין נקודה זו לנקודת מוצא כלשהי. פונקציה זו היא תמיד רציפה, אך אינה בהכרח גזירה ולכן אינה בהכרח פונקציה קדומה של <math>f(x)</math>. עבור פונקציית מדרגה, למשל, לא יהיה אינטגרל זה גזיר, שכן פונקציית מדרגה אינה מקיימת את תכונת הנגזרת הבאה לידי ביטוי במשפט דארבו.

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי אומר ש <math>F(x)</math> גזירה בכל מקום בו <math>f(x)</math> רציפה. כלומר: אם <math>f(x)</math> רציפה ב <math>x_0</math> אזי מתקיים ש <math>F'(x_0) = f(x_0)</math>. כלומר, <math>F(x)</math> היא פונקציה קדומה של <math>f(x)</math> באופן כללי, <math>F(x)</math> לא חייבת להיות גזירה בכל מקום.

על כן, המשפט היסודי קושר בין האינטגרל המסוים <math>F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \,\mathrm{d}t</math> ובין האינטגרל הלא מסוים של הפונקציה, וממנו נגזרת הנוסחה היסודית <math>\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)</math> המאפשרת לחשב אינטגרל מסוים באמצעות שימוש בפונקציה קדומה.

דוגמה

ידוע כי הנגזרת של <math>x^2</math> היא <math>2x</math>‏. על כן כל פונקציה קדומה של <math>2x</math> נבדלת מ-<math>x^2</math> בקבוע, ונכתוב: <math>\int 2x\,dx=x^2+c</math>.

מציאת האינטגרל הלא מסוים

בניגוד לפעולת הגזירה, שהיא טכנית בעיקרה ומבוססת על כמה כללים ברורים היטב, אין "מתכון" בטוח למציאת אינטגרל לא מסוים של פונקציה. באמצעות נוסחאות הגזירה ניתן למצוא מיידית אינטגרלים לפונקציות האלמנטריות הבסיסיות, ועל מנת לבצע אינטגרציה לפונקציות מסובכות יותר ישנן שיטות אינטגרציה (החלפת משתנים, אינטגרציה בחלקים ועוד) שמאפשרות לפשט את הפונקציה ולהפוך אותה לפונקציה אחרת, שעבורה קל יותר למצוא את האינטגרל.

גם אם לא ניתן לבטא את האינטגרל הלא מסוים באמצעות פונקציה אנליטית, אין זה אומר שהאינטגרל המסוים אינו קיים. בהרבה מקרים (למשל במשוואות דיפרנציאליות) ביטויים מהצורה <math> y(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t</math> נחשבים לפתרון קביל.

הערות

למעשה, סכום רימן הוא חלוקה של הקטע למלבנים צרים שגובהם הוא <math>f(\xi_i)</math>, סיכום שטחיהם ומעבר לגבול כאשר פרמטר החלוקה שואף לאפס. באנליזה נומרית יש חשיבות גדולה לבחירת נקודות הביניים כדי לקבל התכנסות מהירה של הקירוב הנומרי לערך המדויק (שלרוב אינו ניתן לחישוב).

הכללות של אינטגרל רימן

אינטגרל לבג

קובץ:Postscript-viewer-blue.svg ערך מורחב – אינטגרל לבג

אינטגרל לבג הוא הכללה של אינטגרל רימן לפונקציות מדידות שפותחה על ידי המתמטיקאי אנרי לבג במסגרת מחקרו על תורת המידה. אינטגרל לבג מתבסס על מידת לבג המוגדרת מעל הישר הממשי והוא מזדהה עם אינטגרל רימן לכל פונקציה חסומה שהיא אינטגרבילית במובן רימן.

בהיות האינטגרל של לבג הכללה של אינטגרל רימן, מאפשר מושג זה לחשב אינטגרל לפונקציות שאינן אינטגרביליות במובן רימן. הרעיון באינטגרל לבג הוא לחשב את השטח לפי התמונה של הפונקציה ולא לפי התחום שלה. היתרון בגישה זו היא שלרוב התמונה של הפונקציה פשוטה בהרבה ו"פתולוגית" הרבה פחות מתחום הגדרתה. לכן, מחלקת הפונקציות שהן אינטגרביליות במובן לבג רחבה יותר ממחלקת הפונקציות האינטגרביליות רימן. למעשה, גם פונקציות שאינן רציפות באף מקום יכולות להיות אינטגרביליות לבג (בעוד שאינן אינטגרביליות רימן). אחת הדוגמאות הבסיסיות והיפות לפונקציה כזאת היא פונקציית דיריכלה.

אינטגרל רימן־סטילטיס ואינטגרל לבג־סטילטיס

קובץ:Postscript-viewer-blue.svg ערך מורחב – אינטגרל רימן-סטילטיס

אינטגרל רימן-סטילטיס הוא הכללה אחרת של אינטגרל רימן.

אינטגרל רימן־סטילטיס של פונקציה ממשית <math>\,f</math> של משתנה ממשי ביחס לפונקציה ממשית <math>\,g</math> מסומן:

<math>\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}g(x)</math>

ומוגדר להיות הגבול של הביטוי:

<math>\sum_{x_i\in P} f(c_i)(g(x_{i+1})-g(x_i)) </math>

כאשר <math>\,c_i</math> נמצא ברווח ה־<math>\,i</math> בחלוקת הקטע <math>\,[a,b]</math> לקטעים וכאשר אורך הקטע המקסימלי בחלוקה שואף ל־0.

האינטגרל אינו מוגדר כאשר לשתי הפונקציות <math>\,f</math> ו־<math>\,g</math> יש נקודת אי־רציפות משותפת. יש הכללה שתגדיר את האינטגרל כאשר בנקודת אי הרציפות המשותפת אחת הפונקציות רציפה מימין והשנייה משמאל.

הכללה נוספת היא אינטגרל לבג-סטילטיס, שהוא הכללה הן של אינטגרל רימן־סטילטיס והן של אינטגרל לבג. שתי ההגדרות, של אינטגרל רימן־סטילטיס ושל אינטגרל לבג־סטילטיס הן הגדרות זהות כאשר הפונקציה <math>\,g</math> היא פונקציה מונוטונית עולה, וזהו המקרה בו אינטגרל זה משמש בסטטיסטיקה ובמשתנים מקריים כאשר הפונקציה <math>\,g</math> היא פונקציה ההסתברות (המצטברת).

שימושי האינטגרל

שימוש חשוב של האינטגרל הוא מציאת שטח. השטח בין פונקציה <math>f(x)</math> אי־שלילית (כלומר: <math>\forall x : f(x) \ge 0</math> ) בקטע <math>[a,b]</math> ובין ציר <math>x</math> הוא <math>\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x</math>. כאשר <math>f(x)</math> מקבלת גם ערכים שליליים, האינטגרל מחשב את השטח שכלוא בין גרף הפונקציה לציר x אך מחזיר אותו עם סימן בהתאם למיקום של השטח ביחס לציר ה־x: סימן חיובי אם השטח כלוא מעל ציר ה־x וסימן שלילי אם השטח כלוא מתחתיו. למשל: <math>\int_{-1}^0 x dx = -1/2 </math>. כך ייתכן למשל, ששטחים יקזזו זה את זה כאשר חלק מהם מעל לציר ה־x וחלק מהם מתחתיו. למשל: <math>\int_{-1}^{+1} x \,\mathrm{d}x = 0</math> בעוד ש-<math>\int_{-1}^{+1} |x| \,\mathrm{d}x = 2 \int_0^1 x \,\mathrm{d}x = 1</math>.

אורך של גרף הפונקציה <math>f(x)</math> שהיא גזירה ברציפות בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int_a^b \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\, \mathrm{d}x</math>. זאת כמקרה פרטי של הנוסחה לאורך עקומה <math>\gamma (t)</math> גזירה ברציפות ורגולרית: <math>\int_a^b \| \gamma '(t) \| \, \mathrm{d}t</math>.

בנוסף, אפשר להשתמש באינטגרל לחישוב נפח של גוף סיבוב. גוף סיבוב הוא גוף המתקבל על ידי סיבוב של פונקציה אחת סביב ציר. נפח גוף הסיבוב של הפונקציה <math>f(x)</math> סביב ציר x בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\pi\int_a^b (f(x))^2 \,dx</math>. נפח גוף הסיבוב של הפונקציה <math>f(x)</math> סביב ציר <math>y</math>בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>2\pi\int_a^b xf(x) \,\mathrm{d}x</math>.

שטח הפנים של גוף סיבוב הוא (ללא שטח הבסיסים) <math>2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1+\left( f'(x)\right)^2}\, \mathrm{d}x</math>.

הנפח של הגוף ששטח החתך שלו עבור כל שיעור <math>x</math> הוא <math>A(x)</math> שווה ל־<math>\int_a^b A(x)\, \mathrm{d}x</math>.

הערך הממוצע של ערכי הפונקציה <math>f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x</math>.

התפתחות המושג

ארכימדס, מתמטיקאי שפעל ביוון העתיקה במאה השלישית לפני הספירה, השתמש בשיטה שנקראת "שיטת המיצוי" כדי לחשב שטחים שמתחת לעקומות. הוא עשה זאת באמצעות חיבור של צורות קטנות רבות, בדומה לרעיון של אינטגרל, אך ללא שימוש בשפה של פונקציות, גבולות או נגזרות. זו הייתה גישה אינטואיטיבית וחסרת בסיס פורמלי. רק בסופה של המאה השבע עשרה, עם הופעתו של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, נוצר מושג האינטגרל במובנו המודרני — כחלק מהחשבון האינפיניטסימלי וכמושג הקשור קשר הדוק לנגזרות. אייזק ניוטון מאנגליה וגוטפריד וילהלם לייבניץ מגרמניה פיתחו את רעיונות האינטגרל והנגזרת במסגרת מתמטית שיטתית. ניוטון עבד על כך בסביבות שנת 1666, אך פרסם את עבודתו רק בשנת 1687. לייבניץ פרסם את רעיונותיו בנושא אינטגרלים כבר בשנת 1684. הוא גם היה זה שהמציא את הסימון המודרני "∫", כצורה מוארכת של האות s, כמייצגת את המילה הלטינית "summa", דהיינו סכום. בעוד הסימון של ניוטון משמש בעיקר בתחום הפיזיקה. במהלך המאה התשע עשרה, המתמטיקאים אוגוסטין לואי קושי וברנרד רימן ניסחו הגדרות מדויקות למהותם של אינטגרל וגבול. רימן הגדיר את אינטגרל רימן — הגדרה פורמלית לאינטגרל כסכום גבולי של חלקים קטנים. מאוחר יותר פותח גם אינטגרל לבג, אשר הרחיב את הרעיון לתחומים מתמטיים רחבים יותר.

נוסחאות אינטגרציה

<math>\int 0 \,\mathrm{d}x = c</math>

<math>\int a \,\mathrm{d}x = ax + c</math>

<math>\int x^n \,\mathrm{d}x = \frac {x^{n+1}}{n+1} + c</math> (עבור <math>n \neq -1</math>)

<math>\int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x| + c</math>

<math>\int|x|\mathrm dx=\begin{cases}\frac{x^2}{2}+c && x\geq 0\\ -\frac{x^2}{2}+c && x<0\end{cases}</math>

<math>\int f(x) g'(x) \,\mathrm{d}x = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) \,\mathrm{d}x</math> (אינטגרציה בחלקים)

<math>\int \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \,\mathrm{d}x = \frac{f(x)}{g(x)}</math>

<math>\int(f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx</math>

<math>\int f[g(x)]\cdot g'(x)dx=F[g(x)]+c</math> כאשר <math>F</math> היא פונקציה קדומה של <math>f</math>

<math>\int e^x \,\mathrm{d}x = e^x + c</math>

<math>\int\ln x\mathrm dx=x\ln x-x+c</math>

<math>\int \frac n {\ln(a) \cdot x} \,\mathrm{d}x = \log_a (x^n)</math>

<math>\int \frac {f'(x)} {f(x)} \,\mathrm{d}x = \ln|f(x)| + c</math>

<math>\int \cos(x) \,\mathrm{d}x = \sin(x) + c</math>

<math>\int \sin(x) \,\mathrm{d}x = -\cos(x) + c</math>

<math>\int \tan(x) \,\mathrm{d}x = -\ln(|\cos(x)|) + c</math>

<math>\int \arcsin(x) \,\mathrm{d}x = x\arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + c</math>

<math>\int \arccos(x) \,\mathrm{d}x = x\arccos(x)- \sqrt{1-x^2} + c</math>

<math>\int \arctan(x) \,\mathrm{d}x = x\arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + c</math>

<math>\int \frac 1 {\sqrt{1 - x^2}} \,\mathrm{d}x = \arcsin{(x)} + c</math>

<math>\int - \frac 1 {\sqrt{1 - x^2}} \,\mathrm{d}x = \arccos {(x)} + c</math>

<math>\int \frac 1 {x^2 + 1} \,\mathrm{d}x = \arctan {(x)} + c</math>

<math>\int \sinh {(x)} \,\mathrm{d}x = \cosh {(x)} + c</math>

<math>\int \cosh {(x)} \,\mathrm{d}x = \sinh {(x)} + c</math>

<math>\int \tanh {(x)} \,\mathrm{d}x = \ln {(\cosh {(x)})} + c</math>

<math>\int \coth {(x)} \,\mathrm{d}x = \ln{(\sinh{(x)})} + c</math>

עיינו גם בפורטל קובץ:P mathematics.svg

ראו גם

• רשימה של פונקציות קדומות
• שיטות אינטגרציה
• אינטגרל רב ממדי
• אינטגרל קווי
• אינטגרל לבג

קישורים חיצוניים

• מחשבון אינטגרלים
• מחשבון אינטגרל רימן-סטילטיס
• גדי אלכסנדרוביץ', אז מה זה אינטגרל?, באתר "לא מדויק", 27 בנובמבר 2010
• אינטגרל, באתר MathWorld (באנגלית)
• אינטגרל, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• קובץ:YouTube full-color icon (2017).svg ווייז (waze), שבת ואינטגרל - מה הקשר?, סרטון באתר יוטיוב
• קובץ:National Library IL logo.svg אינטגרלים, דף שער בספרייה הלאומית