סכום דארבו עליון

בחשבון אינפיניטסימלי, סכום דארבו עליון של פונקציה חסומה בקטע סגור <math>[a,b]</math> ביחס לחלוקה <math>P</math> מוגדר בתור הסכום <math>U(F,P)=\sum_{i=1}^{n}M_i(x_i-x_{i-1})</math>, כאשר <math>M_i=\sup\limits_{x_{i-1}\le x \le x_i} f(x)</math>.

תכונות עריכה

סכום דארבו עליון "יורד" תחת עידון של החלוקה. או באופן פורמלי:

תהי <math>f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}</math> חסומה ותהי <math>P=\{ x_0,x_1,...,x_n \}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math>. יהי <math>\hat{x}\in [a,b]</math> ותהי <math>\hat{P}=P\cup \{ \hat{x} \}</math> עידון של <math>P</math> על ידי תוספת נקודת חלוקה. אזי מתקיים: <math>U(f,P) \ge U(f,\hat{P})</math>.

הוכחה:

אם <math>\hat{x} \in P</math> אז <math>\hat{P} = P</math> וכל הטענה טריוויאלית.

אחרת, קיים אינדקס <math>j</math> כך ש-<math>\hat{x}</math> נמצאת בתוך תת-הקטע ה-<math>j</math> של <math>P</math>: <math>x_{j-1} < \hat{x} < x_j</math>.

נסמן: <math>\widehat{M} = \sup_{x_{j-1} \le x \le \hat{x}} f(x)</math> , <math>\widehat{\widehat{M}} = \sup_{\hat{x} \le x \le x_j} f(x)</math>.

מעצם ההגדרה של סכום דרבו עליון מתקיים:

<math>U(f,\hat{P}) = \sum_{i=1}^{j-1} M_i (x_i - x_{i-1}) + \widehat{M} (\hat{x} - x_{j-1}) + \widehat{\widehat{M}} (x_j - \hat{x}) + \sum_{i=j+1}^{n} M_i (x_i - x_{i-1})</math>

מכאן:

<math>U(f,P) - U(f,\hat{P}) = M_j (x_j - x_{j-1}) - \widehat{M} (\hat{x} - x_{j-1}) - \widehat{\widehat{M}} (x_j - \hat{x})</math>

מ-<math>[x_{j-1}, \hat{x}] \subseteq [x_{j-1}, x_j]</math> נובע ש- <math>\sup_{x \in [x_{j-1}, \hat{x}]} f(x) \le \sup_{x \in [x_{j-1}, x_j]} f(x)</math>, כלומר <math>\widehat{M} \le M_j</math>.

באותו אופן נובע מ-<math>[\hat{x}, x_j] \subseteq [x_{j-1}, x_j]</math> ש- <math>\widehat{\widehat{M}} \le M_j</math>.

לכן:

<math>U(f,P) - U(f,\hat{P}) \ge M_j (x_j - x_{j-1}) - M_j (\hat{x} - x_{j-1}) - M_j (x_j - \hat{x}) = 0</math>,

כלומר <math>U(f,P) \ge U(f,\hat{P})</math>. ∎

חסם על השינוי תחת עידון עריכה

כאשר מעדנים חלוקה על ידי הוספת נקודה אחת, השינוי בסכום דארבו העליון חסום על ידי ההפרש שבין החסם העליון והתחתון של הפונקציה בקטע כולו, כפול פרמטר החלוקה.

באופן פורמלי: תהי <math>f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}</math> פונקציה חסומה, כך ש-<math>M = \sup_{x \in [a,b]} f(x)</math> ו-<math>m = \inf_{x \in [a,b]} f(x)</math>. תהי <math>P</math> חלוקה של הקטע שפרמטר החלוקה שלה הוא <math>\Delta(P)</math> (אורך תת-הקטע המקסימלי). תהי <math>\hat{P} = P \cup \{\hat{x}\}</math> עידון של <math>P</math> על ידי הוספת נקודה אחת <math>\hat{x} \in [a,b]</math>. אזי מתקיים:

<math>0 \le U(f,P) - U(f,\hat{P}) \le (M-m)\Delta(P)</math>

(הערה: אם העידון נעשה על ידי הוספת <math>k</math> נקודות חדשות לחלוקה, החסם מוכפל ב-<math>k</math>, כלומר ההפרש קטן או שווה ל- <math>k(M-m)\Delta(P)</math>).*

טענות בחשבון אינטגרלי

אדיטיביות של אינטגרל דארבו על פי הקטע

סכום דארבו עליון קטן כשמעדנים את החלוקה

משפט קנטור לרציפות במידה שווה

אינטגרביליות דארבו
<math> \Downarrow</math>
חסימות

סכום רימן של <math>f</math> על <math> [a,b]</math>

סכום רימן של <math>f</math> על <math> [a,b]</math>