אריתמטיקה של גבולות

בחשבון אינפיניטסימלי, כללי האריתמטיקה של גבולות (לעיתים בראשי תיבות: אש"ג) הם חוקים בסיסיים העוסקים בגבולות של פונקציות המתקבלות מביצוע פעולות אריתמטיות בין פונקציות (ממשיות או מרוכבות) נתונות.

אריתמטיקה של גבולות סופיים

תהיינה <math>f\,</math>ו-<math>g\,</math> פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של <math>\,x_0</math> שעבורן קיימים הגבולות הסופיים <math>\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)</math> ו-<math>\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)</math>.

בתנאים אלו מתקיימים הכללים הבאים:

כלל הסכום

הגבול של סכום פונקציות, שווה לסכום הגבולות של הפונקציות, כלומר:

<math>\lim_{x\rightarrow x_0} (f + g)(x)=\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) + \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)</math>

כלל המכפלה

הגבול של מכפלת פונקציות, שווה למכפלת הגבולות של הפונקציות, כלומר:

<math>\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) \cdot \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)</math>

אם נבחר בפונקציה <math>\ g(x)=\alpha</math>, קבוע, יתקבל המקרה הפרטי <math>\lim_{x\rightarrow x_0} \alpha \cdot f(x)=\alpha \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) </math>. בפרט <math>\lim_{x\rightarrow x_0} (-f(x))=- \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) </math> ומכאן נובע "כלל ההפרש", המקביל בצורתו לכלל הסכום, ועוסק בגבול של הפרש פונקציות.

כלל המנה

הגבול של מנת פונקציות, שווה למנת הגבולות של הפונקציות בתנאי ש: <math>\lim_{x\rightarrow x_0} g(x) \ne 0</math>, כלומר:

<math>\lim_{x\rightarrow x_0} \left({\frac{f}{g}}\right)(x) =\frac{\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)}{\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)}</math>

כללי האריתמטיקה לגבולות סופיים תקפים גם כאשר <math>\,x \rightarrow \pm \infty</math>.

אריתמטיקה של גבולות אינסופיים

תהיינה <math>f\,</math>ו-<math>g\,</math> פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של <math>\,x_0</math> שעבורן מתקיים:

• <math>\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=+\infty</math>.
• <math>\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=L</math>, כאשר <math>L\in\mathbb{R}</math> (כלומר מספר סופי).

בתנאים אלו מתקיימים כללי האריתמטיקה לגבולות אינסופיים שלהלן:

• <math>\lim_{x\rightarrow x_0} (f+g)(x)=+\infty</math>.
• <math>\lim_{x\rightarrow x_0} (g-f)(x)=-\infty</math>.
• <math>\lim_{x\rightarrow x_0} (\frac{g}{f})(x)=0</math>.

כאשר <math>\,L>0</math> מתקיים:

• <math>\lim_{x\rightarrow x_0} (f \cdot g)(x)= + \infty</math>.

וכאשר <math>\,L<0</math> מתקיים:

• <math>\lim_{x\rightarrow x_0} (f \cdot g)(x)= - \infty</math>.

כאשר <math>\,L=0</math> לא ניתן לדעת באופן מיידי את ערכו של הגבול <math>\lim_{x\rightarrow x_0} (f \cdot g)(x)</math> מכיוון שגבול זה אינו מוגדר היטב, שכן הוא מהצורה של "<math>0 \cdot \infty</math>" ולכן במקרה זה לא ניתן לדעת דבר על הגבול או על קיומו. יש לחפש דרכים אחרות לחישוב הגבול, ביניהן כלל לופיטל.

כללי האריתמטיקה לגבולות האינסופיים תקפים גם כאשר <math>\,x \rightarrow \pm \infty</math>.

תהי <math>f\,</math> פונקציה המוגדרת בסביבה (נקובה או לא) של <math>\,x_0</math> שעבורה מתקיים:

• <math>\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=0</math>.
• קיימת סביבה מנוקבת של <math>\,x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)>0\,</math>.

בתנאים אלו מתקיים:

• <math>\lim_{x\rightarrow x_0} (\frac{1}{f})(x)=+\infty</math>.

הערה: המשפט אנלוגי לגמרי עבור המקרה בו קיימת סביבה נקובה של <math>\,x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)<0\,</math> ובמקרה הזה הגבול הוא <math>-\infty</math>.

תהיינה <math>f\,</math>ו-<math>g\,</math> פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של <math>\,x_0</math> שעבורן מתקיים:

• <math>\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=+\infty</math>.
• <math>\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=+\infty</math>.

בתנאים אלו מתקיים :

• <math>\lim_{x\rightarrow x_0} (f \cdot g)(x)=+\infty</math>.

גם כלל זה תקף כאשר <math>\,x \rightarrow \pm \infty</math>.

גבול של הרכבת פונקציות

אם <math>f\,</math>ו-<math>g\,</math> פונקציות שעבורן <math>\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=y_0</math> וכן גם <math>\lim_{y\rightarrow y_0} g(y)=L</math> (עבור <math>x_0,y_0,L</math> כלשהם),

ומתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים (1) <math>L=g(y_0)</math> (כלומר <math>g(y)</math> רציפה ב <math>y_0</math>) (2) <math>f(x)\neq y_0</math> בסביבה מנוקבת של <math>x_0</math>

אז הגבול של הרכבת הפונקציות <math>g \circ f</math> בנק' <math>x_0</math> קיים ושווה ל- <math>\lim_{x\rightarrow x_0} (g\circ f)(x)=\lim_{x\rightarrow x_0} g(f(x))=L</math> .

הוכחות

הוכחת כלל הסכום

נסמן ב-<math>\,A</math> וב-<math>\,B</math> את הגבולות של <math>\,f</math> ושל <math>\,g</math> בהתאמה. יהי <math>\varepsilon > 0</math>. יש להוכיח כי קיים <math>\ \delta > 0\,</math> כך שלכל <math>x\,</math> המקיים <math>|x-x_0|<\delta\,</math> מתקיים <math>|(f \pm g)(x)-(A \pm B)|<\varepsilon\,</math>.

מהנתונים על הגבולות של <math>f\,</math>ו-<math>g\,</math> נסיק כי:

• קיים <math>\delta_1 > 0\,</math> כך שלכל <math>x\,</math> המקיים <math>|x-x_0|<\delta_1\,</math> מתקיים <math>|f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2}\,</math> (1).
• קיים <math>\delta_2 > 0\,</math> כך שלכל <math>x\,</math> המקיים <math>|x-x_0|<\delta_2\,</math> מתקיים <math>|g(x)-B|<\frac{\varepsilon}{2}\,</math> (2).

נבחר את <math>\delta\,</math> להיות <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\,</math>. לפי אי-שוויון המשולש:

<math>|(f \pm g)(x)-(A \pm B)|=|f(x) \pm g(x)-A \mp B|\le |f(x)-A|+|g(x)-B|</math>.

מכאן ש- <math>|(f(x) \pm g(x))-(A \pm B)|\le |f(x)-A|+|g(x)-B| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>.

הוכחת כלל המכפלה

יהי <math>\varepsilon > 0</math>. יש להוכיח כי קיים <math>\delta > 0\,</math> כך שלכל <math>x\,</math> המקיים <math>0<|x-x_0|<\delta\,</math> מתקיים <math>|(f\cdot g)(x)-(A\cdot B)|<\varepsilon\,</math>. נגדיר <math>\,\varepsilon_1=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{1+|A|+|B|}\right\}</math>.

מהנתונים על הגבולות של <math>f\,</math>ו-<math>g\,</math> נסיק כי:

• קיים <math>\delta_1 > 0\,</math> כך שלכל <math>x\,</math> המקיים <math>0<|x-x_0|<\delta_1\,</math> מתקיים <math>|f(x)-A|<\varepsilon_1</math>
• קיים <math>\delta_2 > 0\,</math> כך שלכל <math>x\,</math> המקיים <math>0<|x-x_0|<\delta_2\,</math> מתקיים <math>|g(x)-B|<\varepsilon_1</math>

נבחר את <math>\delta\,</math> להיות <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\,</math>. יהי <math>x\,</math> המקיים <math>0<|x-x_0|<\delta\,</math>. נקבל, על-פי אי-שוויון המשולש, כי:

<math>\,|f(x)g(x)-AB|=|(f(x)-A)(g(x)-B)+(f(x)-A)B+A(g(x)-B)| </math> <math>\,\le|f(x)-A|\cdot|g(x)-B|+|f(x)-A|\cdot|B|+|A|\cdot|g(x)-B| </math> <math>\,<\varepsilon_1\cdot\varepsilon_1+ \varepsilon_1\cdot|B|+|A|\cdot\varepsilon_1 \le \varepsilon_1+ \varepsilon_1\cdot|B|+|A|\cdot\varepsilon_1 </math> <math>\,=\varepsilon_1 (1+|A|+|B|)\le\varepsilon </math>

כלומר, הראינו שאם <math>x\,</math> מקיים <math>0<|x-x_0|< \delta \,</math> אזי <math>|f(x)g(x)-AB|<\varepsilon</math>, ומכאן נובע כלל המכפלה.

הוכחת כלל ההרכבה

נוכיח במקרה בו <math>g\,</math> רציפה.

יהי <math>\varepsilon >0\,</math>. נתון ש-<math>g</math> רציפה בנקודה <math>y_0\,</math>, לכן קיים <math>\delta_1 >0\,</math> כך שלכל <math>y</math> המקיים <math>|y-y_0|<\delta_1\,</math> (כולל <math>y_0</math>) מתקיים <math>|g(y)-L|<\varepsilon</math> (1).

<math>\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=y_0</math> ולכן קיים <math>\delta_2 >0\,</math> כך שלכל <math>x\,</math> המקיים <math>0<|x-x_0|<\delta_2\,</math> מתקיים <math>|f(x)-y_0|<\delta_1\,</math> (2).

מ-(2) נסיק כי לכל <math>x\,</math> המקיים <math>0<|x-x_0|<\delta_2\,</math> מתקיים <math>|f(x)-y_0|<\delta_1\,</math> ולכן עבור <math>\,y=f(x)</math> נקבל מ-(1) כי <math>|g(f(x))-L|<\varepsilon</math>, כנדרש.

במקרה השני, אנחנו ניאלץ לדרוש ש-<math>0<|y-y_0|</math>, ולכן נבחר <math>|x-x_0|</math> קטן מספיק (כפי שחייב להיות לפי התנאי השני), שעבורו <math>0<|f(x)-y_0|</math> כפי שרצינו.