חלוקה (חשבון אינפיניטסימלי)
פעולות נוספות
בחשבון אינפיניטסימלי, חלוקה של קטע (או פשוט חלוקה) היא קבוצה סופית של נקודות המהווה חיתוך של קטע סגור נתון למספר תתי-קטעים קטנים יותר. מושג זה הוא כלי בסיסי ומרכזי בהגדרה של האינטגרל המסוים, כגון אינטגרל רימן ואינטגרל דארבו.
הגדרה פורמלית עריכה
יהי <math>[a,b]</math> קטע סגור בישר הממשי. חלוקה של הקטע <math>[a,b]</math> היא קבוצה סופית של נקודות <math>P = \{x_0, x_1, x_2, \dots, x_n\}</math> המקיימות את השרשרת:
- <math>a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_{n-1} < x_n = b</math>
החלוקה מפרקת את הקטע המקורי ל-<math>n</math> תתי-קטעים סגורים מהצורה <math>[x_{i-1}, x_i]</math>. החיתוך בין כל שני תתי-קטעים סמוכים הוא נקודת קצה משותפת בלבד.
מושגים קשורים עריכה
פרמטר החלוקה עריכה
האורך של תת-הקטע ה-<math>i</math> מסומן לרוב ב-<math>\Delta x_i = x_i - x_{i-1}</math>. פרמטר החלוקה (נקרא גם נורמת החלוקה) מוגדר כאורך המקסימלי מבין כל תתי-הקטעים של החלוקה. נהוג לסמן אותו ב-<math>\lambda(P)</math> או ב-<math>\|P\|</math> (ולעיתים ב-<math>\Delta(P)</math>):
- <math>\lambda(P) = \max_{1 \le i \le n} \Delta x_i</math>
מושג זה קריטי להגדרת אינטגרל רימן, שכן התהליך הגבולי להגדרת האינטגרל דורש שפרמטר החלוקה ישאף ל-0 (מה שמבטיח שכל תתי-הקטעים בזה אחר זה יהפכו לקטנים כרצוננו, ולא רק חלקם).
עידון חלוקה עריכה
חלוקה <math>P'</math> תיקרא עידון של החלוקה <math>P</math> אם <math>P \subseteq P'</math>. כלומר, <math>P'</math> מכילה את כל נקודות החלוקה של <math>P</math>, וייתכן שגם נקודות נוספות. תהליך של עידון גורם לתתי-הקטעים להיות קטנים או שווים בגודלם לאלו של החלוקה המקורית, ולכן פרמטר החלוקה יכול רק לקטון (או להישאר זהה): <math>\lambda(P') \le \lambda(P)</math>. לכל שתי חלוקות, <math>P_1</math> ו-<math>P_2</math> של אותו קטע, החלוקה החדשה שנוצרת מהאיחוד שלהן <math>P_1 \cup P_2</math> מוגדרת כ"עידון משותף" של שתיהן.
חלוקה מסומנת עריכה
חלוקה מסומנת (Tagged partition) היא חלוקה <math>P</math> יחד עם בחירה של נקודות דגימה <math>t_i</math> כך שמתקיים <math>t_i \in [x_{i-1}, x_i]</math> לכל <math>i = 1, 2, \dots, n</math>. כלומר, בוחרים נקודה אחת מתוך כל תת-קטע (הנקודה יכולה להיות גם על אחד הקצוות). חלוקות מסומנות משמשות בהגדרה המקורית של סכומי רימן, כאשר גובה מלבן הקירוב נקבע על ידי ערך הפונקציה בנקודה הנבחרת באותו תת-קטע: <math>f(t_i)</math>.