פונקציית מדרגה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פעולות נוספות
במתמטיקה, פונקציית מדרגה, או פונקציית הביסייד (על שם אוליבר הביסייד) היא פונקציה המקבלת את הערך 0 עבור מספרים שליליים ואת הערך אחד עבור מספרים חיוביים, כלומר זוהי הפונקציה המציינת של הקרן <math>\ [0,\infty)</math>: <math display="block">\theta (x) = H(x)= u(x)= 1_{[0,\infty)}(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & & x < 0 \\ 1 & & x \ge 0 \end{matrix}\right. </math> (הערך ב-<math>\,x=0</math> מוגדר לעיתים אחרת, למשל <math>H(0)=\frac{1}{2}</math>).
תכונות הפונקציה:
- הפונקציה רציפה בכל נקודה פרט ל-<math>x=0</math>.
- הפונקציה גזירה בכל נקודה פרט ל-<math>x=0</math>.
- הפונקציה אינטגרבילית בכל קטע סופי.
- באופן לא פורמלי, "פונקציית הנגזרת" של <math>\ H</math> היא הדלתא של דיראק (נוסח זה אינו נכון מתמטית מכיוון שפונקציית מדרגה אינה גזירה באפס). זוהי דיסטריבוציה (Distribution) המקבלת בכל נקודה את הערך <math>0</math>, פרט לנקודה <math>\ x=0</math> בה היא "מקבלת את הערך אינסוף". זהו תיאור איכותי בלבד ואיננו מדויק מתמטית. באופן יותר ריגורוזי, מה שנכון לרשום הוא ש-<math>
H(x) = \int_{-\infty}^x \delta(s) \,\mathrm{d}s</math> פרט אולי ל-<math>x=0</math>.
- הפונקציה הקדומה של <math>H</math> היא <math>\mathrm{Ramp}(x) = \int_{-\infty}^x H(t) \,\mathrm{d}t = x \cdot H(x)</math>, שנקראת לעיתים פונקציית רמפה.
- התמרת לפלס של פונקציית המדרגה היא <math>\mathcal{L} \left\{u(t)\right\} =\frac{1}{s}</math>.
ראו גם עריכה
קישורים חיצוניים עריכה
ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא [[commons:Category:{{#property:P373}}|פונקציית מדרגה]] בוויקישיתוף
- פונקציית מדרגה, באתר MathWorld (באנגלית)