משפטי סילו

משפטי סילו הם משפטים בתורת החבורות, העוסקים בתת-חבורות-p מקסימליות של חבורה סופית. חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני <math>p</math> נקראות חבורות p, וכולן נילפוטנטיות. משפטי סילו מאפשרים לחקור חבורות סופיות באמצעות תת-חבורות כאלה והפעולה שלה עליהן, ומכאן המעמד היסודי שלהן בתורת החבורות.

את המשפטים הוכיח המתמטיקאי הנורווגי לודוויג סילו בשנת 1872, והם מכלילים את משפט קושי שנוגע למקרה <math>n=1</math>.

במובן מסוים, משפטי סילו הפוכים למשפט לגראנז'. לפי משפט לגראנז', הסדר של תת-חבורה <math>H</math> של <math>G</math> חייב לחלק את הסדר של <math>G</math>. משפטי סילו מראים שאם נתון מחלק <math>q</math> של הסדר של <math>G</math> שהוא חזקת ראשוני, אז אפשר למצוא תת-חבורה מסדר <math>q</math>. משפטי סילו קובעים גם שכל תת-החבורות שסדרן הוא חזקת-<math>p</math> מקסימלית, צמודות זו לזו.

הגדרות עריכה

אם <math>p</math> הוא מספר ראשוני המחלק את הסדר של החבורה הסופית <math>G</math>, אז קיימת חזקה מקסימלית של <math>p</math> המחלקת את הסדר. כלומר <math>p^n</math> מחלק את סדר החבורה, אבל <math>p^{n+1}</math> אינו מחלק. לתת-חבורה של <math>G</math> שסדרה שווה ל-<math>p^n</math> קוראים חבורת p-סילו של <math>G</math>. הגדרה שימושית אחרת לאותו מושג: חבורת <math>p</math>-סילו היא תת-חבורה של <math>G</math> שהיא חבורת-p, בעלת אינדקס זר ל-<math>p</math>.

לדוגמה, אם <math>|G|=24=2^3\cdot 3 </math> אז תת-חבורה מסדר <math>3</math> היא חבורת <math>3</math>-סילו של <math>G</math>, ותת-חבורה מסדר <math>8</math> היא חבורת <math>2</math>-סילו של <math>G</math>.

ניסוח המשפטים עריכה

נניח ש-<math>G</math> חבורה סופית וש-<math>p^n</math> היא חזקה מקסימלית של ראשוני <math>p</math> המחלקת את הסדר של <math>G</math>. נסמן ב-<math>n_p</math> את מספרן של חבורות p-סילו השונות של <math>G</math>. נציין מיד שאם <math>P</math> חבורת סילו, אז תת-החבורות הצמודות לה גם הן חבורות <math>p</math>-סילו.

משפט סילו הראשון עריכה

לכל חבורה <math>G</math> קיימת חבורת <math>p</math>-סילו. (דהיינו <math>n_p>0</math>).

הכללה של משפט זה קובעת שלכל חזקת <math>p</math> המחלקת את הסדר של <math>G</math>, לאו דווקא החזקה המקסימלית, קיימת תת-חבורה בגודל זה.

משפט סילו השני עריכה

כל חבורות <math>p</math>-סילו של <math>G</math> צמודות זו לזו. יתרה מזו, כל תת-חבורה של <math>G</math>, שהיא חבורת <math>p</math>, מוכלת באיזושהי חבורת <math>p</math>-סילו של <math>G</math>.

מסקנה

חבורת <math>p</math>-סילו היא יחידה (כלומר <math>n_p=1</math>) אם ורק אם היא תת חבורה נורמלית של <math>G</math>.

משפט סילו השלישי עריכה

מספרן של חבורות <math>p</math>-סילו של <math>G</math> שקול לאחת מודולו <math>p</math>. כלומר <math>n_p \equiv 1 \pmod{p}</math>.

מסקנה

<math>n_p</math> מחלק את הסדר של <math>G</math>. אם נסמן <math>|G| = p^nm</math> (כאשר n מקסימלי), נובע מכך ש-<math>n_p</math> מחלק את <math>m</math>, משום שלפי משפט סילו השלישי <math>n_p</math> זר ל־<math>p</math>.

הוכחה: מספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה <math>H</math> של <math>G</math> שווה לאינדקס של המנרמל של <math>H</math> ב-<math>G</math>, שהוא תת-חבורה המכילה את <math>H</math>. אבל המנרמל מכיל את <math>H</math>, לכן האינדקס שלו מחלק את זה של <math>H</math>, וממילא הוא זר ל-<math>p</math>.

דוגמאות ושימושים עריכה

נראה שלכל חבורה <math>G</math> מסדר <math>105</math> מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית. <math>105=3\cdot 5 \cdot 7</math>, ולכן יש לחבורה תת-חבורות מסדר <math>3</math>, <math>5</math> ו-<math>7</math>. מספרן של החבורות מסדר <math>3</math> שקול ל-<math>1</math> מודולו <math>3</math> ומחלק את <math>35</math> - ולכן הוא <math>1</math> או <math>7</math>. באופן דומה מספרן של החבורות מסדר <math>5</math> הוא <math>1</math> או <math>21</math>, ושל אלו מסדר <math>7</math> הוא <math>1</math> או <math>15</math>. אם אחת מחבורות אלו היא יחידה מסדרה, אז היא נורמלית. נניח שאין כזו, אז יש <math>7</math> חבורות מסדר <math>3</math>, שכולן ציקליות כמובן. חבורות מסדר ראשוני מוכרחות להיחתך זו עם זו באופן טריוויאלי, ולכן יש בהן <math>7\cdot (3-1)=14</math> איברים מסדר <math>3</math>. באופן דומה יש <math>84</math> איברים מסדר <math>5</math> ו-<math>90</math> מסדר <math>7</math>. ביחד יותר מ-<math>105</math>, וזה בלתי אפשרי.
משפט הלדר - הכללה של הדוגמה הקודמת.

הוכחות עריכה

למשפטי סילו יש הוכחות רבות, למשל באינדוקציה על הסדר של <math>G</math>. ההוכחה שנציג כאן מבוססת על הפעולה של <math>G</math> על קבוצות מסוימות, והיא מיוחסת לנתן ג'ייקובסון.

הוכחת המשפט הראשון. נסמן ב-<math>X</math> את אוסף כל תת-הקבוצות בגודל <math>p^n</math> של <math>G</math>. מכיוון ש-<math>|X|={|G| \choose p^n}={p^nm \choose p^n}</math>, קל לחשב ש-<math>p</math> אינו מחלק את העוצמה של <math>X</math>. החבורה פועלת על <math>X</math> על ידי כפל משמאל: <math>g \colon B \mapsto gB=\{gb: b\in B\}</math>.

מכיוון שהגודל של <math>X</math> אינו מתחלק ב-<math>p</math>, מוכרח להיות מסלול תחת הפעולה של <math>G</math>, שגודלו אינו מתחלק ב-<math>p</math>. תהי <math>B\in X</math> נקודה באותו מסלול; נבחר <math>b\in B</math>, אז גם <math>b^{-1}B</math> היא נקודה באותו המסלול, והיא מכילה את איבר היחידה של <math>G</math>. לכן אפשר להניח ש- <math>1\in B</math>. מצד אחד, המייצב של <math>B</math> מוכל ב-<math>B</math> (שהרי <math>x\in xB = B</math>), ולכן גודלו <math>p^n</math> לכל היותר. מצד שני, האינדקס של המייצב מחלק את <math>p^nm</math>, אבל הוא שווה לגודל המסלול, ולכן זר ל-<math>p</math> ומחלק את <math>m</math>. יחד נובע מכאן שגודל המייצב שווה בדיוק ל-<math>p^n</math>, ואם כך הוא שווה ל-<math>B</math>; אבל אז <math>B</math> היא חבורת <math>p</math>-סילו.

כעת נסמן ב-<math>S</math> את אוסף חבורות p-סילו של <math>G</math>; המשפט הראשון טוען ש-<math>S</math> אינה ריקה. החבורה <math>G</math> פועלת על <math>S</math> לפי הצמדה.

טענה. אם תת-קבוצה <math>T</math> של <math>S</math> סגורה תחת הפעולה, אז גודלה שקול ל-<math>1</math> מודולו <math>p</math>.

הוכחה. ברור שכל חבורת <math>p</math>-סילו היא תת-חבורת-<math>p</math> מקסימלית. לכן, אם <math>P,Q</math> שתיהן חבורות p-סילו, אז <math>PQ</math> אינה תת-חבורה של <math>G</math> (אחרת סדרה היה שווה ל- <math>\frac{|P|\cdot |Q|}{|P\cap Q|}</math>, וזו חזקת-<math>p</math> גדולה מדי). מכאן יוצא ש-<math>Q</math> אינה יכולה לנרמל את <math>P</math> (אחרת <math>PQ=QP</math> היא תת-חבורה).

כעת תהי <math>P</math> חבורת <math>p</math>-סילו; בתור תת-חבורה של <math>G</math>, גם <math>P</math> פועלת על <math>S</math> בהצמדה, ולכן היא פועלת גם על <math>T</math>. גודלי המסלולים תחת הפעולה הזו מחלקים כמובן את הגודל של <math>P</math>, ולכן הם כולם חזקות של <math>p</math>. יש שני סוגים של מסלולים: אלה שגודלם <math>1</math>, ואלה שגודלם מתחלק ב-<math>p</math>. אם <math>Q</math> היא נקודה יחידה במסלול, אז <math>P</math> מנרמלת את <math>Q</math>, וזה בלתי אפשרי - אלא אם <math>Q=P</math>. כלומר, יש רק מסלול אחד שגודלו <math>1</math>, והוא המסלול המכיל את <math>P</math> בלבד. גודלי שאר המסלולים מתחלקים ב-<math>p</math>, ולכן סכום הגדלים של כל המסלולים (שהוא כמובן הגודל של <math>T</math>) שקול ל-<math>1</math> מודולו <math>p</math>.

הוכחת המשפט השלישי. מספיק לבחור <math>T=S</math> בטענה.

הוכחת המשפט השני. לפי הטענה, הגודל של כל מסלול שקול ל-<math>1</math> מודולו <math>p</math>. אבל כך גם עבור האיחוד של שני מסלולים, אילו היו כאלה, וזה כמובן בלתי אפשרי. מכאן שיש בפעולה רק מסלול אחד, ובמלים אחרות זוהי פעולה טרנזיטיבית.