חבורת p

בתורת החבורות, חבורת-p היא חבורה שהסדר של כל איבר בה הוא חזקה של <math>p</math>. קיימת מחלקה כזו של חבורות לכל מספר ראשוני <math>p</math>, והן נקראות, בהתאמה, חבורות-2, חבורות-3, חבורות-5, וכן הלאה. לפי משפט קושי, חבורה סופית היא חבורת-p אם ורק אם הסדר שלה הוא חזקה של <math>p</math>.

התאוריה של חבורות-p היא מרכיב חשוב בתורת החבורות הסופיות, משום שכל חבורה סופית מכילה תת-חבורות-p (כל תת-חבורת-p מקסימלית של חבורה סופית היא מאינדקס זר ל-p: משפטי סילו). מאידך, המיון השלם של חבורות-p קשה, ומספרן גדל בקצב על-אקספוננציאלי.

מבנה עריכה

שוויון המחלקות מראה שהמרכז של חבורת-p הוא לא-טריוויאלי. מכאן נובע (באינדוקציה על סדר החבורה) שהמנרמל של כל תת-חבורה אמיתית של חבורת-p, מכיל אותה ממש.

כל מכפלה ישרה של חבורות-p סופיות (גם לערכים שונים של <math>p</math>) היא חבורה נילפוטנטית, וגם ההפך נכון: כל חבורה נילפוטנטית סופית מתפרקת למכפלה ישרה של חבורות-סילו שלה.

חבורת-p נקראת חזקה (powerful) אם תת-החבורה הנוצרת על-ידי החזקות <math>x^p</math> (או <math>x^4</math> אם p=2) מכילה את תת-חבורת הקומוטטורים.

מספרן של חבורות-p עריכה

עבור מספרים מאותו סדר גודל, מספר החבורות (עד כדי איזומורפיזם) מסדר <math>n</math> הוא הגדול ביותר כאשר <math>n</math> הוא חזקה של ראשוני. לדוגמה, יש 15 חבורות לא איזומורפיות מסדר 16 (לעומת 28 מכל הסדרים עד 15 גם יחד), 2328 חבורות מסדר 128 ו-56092 מסדר 256. Graham Higman (1960) ו-Sims (1965) הוכיחו שמספר החבורות מסדר <math>p^n</math> גדל כמו <math>p^{2n^3/27}</math>.

יש חבורה יחידה מכל סדר <math>p</math>; 2 חבורות מסדר <math>p^2</math>; 5 חבורות מסדר <math>p^3</math>; ו-15 חבורות מסדר <math>p^4</math>. מספר החבורות מסדר <math>p^5</math> הוא <math>2p</math> ועוד גורם בגודל חסום התלוי ב-<math>p</math>; מספר החבורות מסדר <math>p^6</math> הוא <math>3p^2</math> ועוד גורם ליניארי התלוי ב-<math>p</math>; מספר החבורות מסדר <math>p^7</math> הוא <math>3p^5</math> ועוד גורם ממעלה רביעית התלוי ב-<math>p</math>. חישובים אלה, שנערכו בדייקנות, הביאו את Higman לשער השערה שנודעה בשם "The PORC conjecture" (על-שם ראשי התיבות Polynomials On Residue Classes), שלפיה לכל <math>n</math> יש <math>N</math> גדול מספיק כך שמספר החבורות מסדר <math>p^n</math> (עבור <math>p</math> גדול מספיק) הוא פולינום מסוים של <math>p</math>, התלוי ב-<math>p\pmod{N}</math> בלבד.

החבורות מכל סדר <math>p^n</math>, עבור <math>n \leq 7</math> (וכאשר <math>p=2</math>, עבור <math>n\leq 9</math>) מויינו באופן מלא. יש <math>49478365422</math> חבורות מסדר <math>2^{10}</math>.

אוטומורפיזמים עריכה

משערים שאם <math>P</math> חבורת-p מסדר שאינו <math>p</math> או <math>p^2</math>, אז הסדר של חבורת האוטומורפיזמים <math>|\operatorname{Aut}(P)|</math> מתחלק בזה של <math>P</math>. חבורת האוטומורפיזמים החיצונית של חבורת-p לא אבלית תמיד כוללת איבר מסדר <math>p</math> (Gashutz, 1966). השאלה האם תמיד קיים אוטומורפיזם חיצוני (כלומר אוטומורפיזם שאינו פנימי) מסדר p עודנה פתוחה.

חבורת פרטיני והצגות לפי יוצרים ויחסים עריכה

חבורת פרטיני <math>\Phi(P)</math> של חבורת-p <math>P</math> היא תת-החבורה הנוצרת על ידי תת-חבורת הקומוטטורים וכל חזקות-p של אברי החבורה. לכן <math>P/\Phi(P)</math> היא מהצורה <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^d</math> עבור <math>d</math> מתאים. במקרה זה, אפשר ליצור את החבורה על ידי <math>d</math> איברים, אבל לא פחות. המנה <math>P/\Phi(P)</math> איזומורפית לחבורת ההומולוגיה הראשונה: <math>H_1(P,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \cong P/\Phi(P)</math>. את מספר היחסים בהצגה לפי יוצרים ויחסים אפשר לקרוא מחבורת ההומולוגיה השנייה <math>H_2(P,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})</math>: גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה היא מספר היחסים המינימלי r בהצגה של החבורה (מקור: Serre, Galois Cohomology, סעיף I.4.3).

משפט גולוד-שפרביץ' קובע שבחבורת-p סופית, r>d^2/4.

אלגברת החבורה עריכה

בעיית האיזומורפיזם המודולרי (האם אלגברת החבורה <math>\ \mathbb{F}_p[P]</math>, כאשר <math>P</math> היא חבורת-p, קובעת את <math>P</math> עד-כדי איזומורפיזם) נפתרה לשלילה: ראו אלגברת חבורה.

ראו גם עריכה

קישורים חיצוניים עריכה

חבורת p, באתר MathWorld (באנגלית)

עץ מיון של חבורות סופיות

חבורה דיהדרלית - <math>D_n</math>

חבורה נילפוטנטית

חבורה פשוטה למחצה

החבורה הליניארית הכללית מעל שדה סופי - <math>GL_n(\mathbb F_q)</math>

החבורה הסימטרית - <math>S_n</math>

חבורה אבלית אלמנטרית - <math>(C_p)^n</math>

חבורה ציקלית- <math>C_n</math>

החבורה הסימטרית - <math>S_n;n\geq 5</math>

חבורה פשוטה לא אבלית

החבורה הליניארית הפרויקטיבית מעל שדה סופי <math>PGL_n(\mathbb F_q)</math>
<math>n+q\geq 5</math>

החבורה הליניארית המיוחדת מעל שדה סופי - <math>SL_n(\mathbb F_q)</math>
<math>n+q\geq 5</math>

חבורה ציקלית מסדר ראשוני - <math>C_p</math>

חבורת התמורות הזוגיות - <math>A_n;n\geq 5</math>

חבורה ספורדית

חבורה פשוטה סופית מטיפוס לי

מקרא

	מחלקה של חבורות סופיות או חבורה סופית בודדות; שם התואר "סופית" מושמט בדרך כלל.
	משפחה החשובות בתורת החבורות הסופיות.
<math>\cup</math>	מחלקה שמכוסה על ידי תתי-המחלקות שלה המופיעות בתרשים.
<math>\cap</math>	מחלקה המהווה חיתוך של המחלקות שמכילות אותה ומופיעות בתרשים.
	מסלול שיורד למטה מצביע על כך שהמחלקה התחתונה היא חלק מהמחלקה העליונה

	קבוצה סופית של חבורות
	סדרה של חבורות סופיות
	סדרה דו פרמטרית של חבורות סופיות
	משפחה רחבה יותר של חבורת סופיות בעלת תיאור שימושי ומפורש
	משפחה של חבורת סופיות ללא תיאור שימושי ומפורש