משוואת המחלקות

בתורת החבורות, משוואת המחלקות של חבורה סופית G היא השוויון:

<math>|G|=|Z(G)|+\sum_{g\in I} [G:C(g)]</math>

כאשר <math>Z(G)</math> הוא המרכז של G, <math>C(g)</math> הוא המְרַכֵּז של <math>g</math> (תת-חבורת האיברים שמתחלפים עם g) ו-I היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-G של איברים שאינם ב-<math>Z(G)</math>.

<math>[G:C(g)]</math> הוא האינדקס של <math>C(g)</math> ב-<math>G</math> והוא שווה ל-<math>[G:C(g)]=|G|/|C(g)|</math>.

רקע

שני איברים <math>g,h\in G</math> נקראים איברים צמודים אם קיים <math>x\in G</math> כך ש-<math>g=xhx^{-1}</math>. צמידות הוא יחס שקילות ולכן ניתן לחלק את <math>G</math> למחלקות שקילות ביחס לצמידות הנקראות מחלקות צמידות. נסמן את מחלקת הצמידות המורכבת מהאיברים שצמודים ל-<math>g</math> כ-<math>A_g</math>.

המרכז של <math>G</math> מוגדר <math>Z(G)=\{g\in G: \forall x\in G, xg=gx\}</math> (קבוצת האיברים שמתחלפים עם כל איברי החבורה).

המְרַכֵּז של איבר <math>g\in G</math> מוגדר <math>C(g)=\{x\in G: xg=gx\}</math> (קבוצת האיברים שמתחלפים עם g). למשל המרכז של איבר במרכז הוא G כולה. בדיקה פשוטה מעלה ש-<math>C(g)</math> היא תת-חבורה של <math>G</math>.

הוכחה

תהי <math>G</math> חבורה סופית ויהי <math>g\in G</math>. נשים לב לשרשרת השקילויות הבאה:

<math>xgx^{-1}=ygy^{-1} \iff (y^{-1}x)g=g(y^{-1}x) \iff y^{-1}x\in C(g) \iff x\in yC(g) \iff xC(g)=yC(g)</math>

כאשר המעבר האחרון נובע מכך שקוסטים מהווים מחלקות שקילות.

מכאן ש-<math>xgx^{-1}</math> ו-<math>ygy^{-1}</math> שונים אם ורק אם <math>x</math> ו-<math>y</math> שייכים לקוסטים שמאליים שונים של <math>C(g)</math>. לכן מתקיים:

<math>|A_g|=[G:C(g)]</math>

מכיוון שמחלקות הצמידות מהוות מחלקות שקילות מתקיים:

<math>|G|=\sum_g |A_g|</math>

כש-<math>g</math> עובר על קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות.

נגדיר את <math>I</math> כקבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ללא איברי <math>Z(G)</math>. לכל <math>g\in Z(G)</math> ולכל <math>x\in G</math> מתקיים <math>g=xx^{-1}g=xgx^{-1}</math> ולכן <math>|A_g|=1</math> (g צמוד רק לעצמו). מכאן שמתקיים:

<math>|G|=\sum_{g\in Z(G)}{1} + \sum_{g\in I}{|A_i|}=|Z(G)|+\sum_{g\in I} [G:C(g)]</math>

מסקנות

ממשוואת המחלקות נובע שלכל חבורת p יש מרכז לא טריוויאלי.

הוכחה: תהי <math>G</math> חבורה מסדר <math>p^n</math>. אם <math>G</math> אבלית <math>Z(G)=G</math> אינו טריוויאלי. נניח ש-<math>G</math> אינה אבלית. יהי <math>g\in I</math>, לפי משפט לגראנז' קיים k טבעי כך שמתקיים <math>|C(g)|=p^k</math>. בהכרח <math>k<n</math>, אחרת <math>C(g)=G</math> בסתירה לכך ש-<math>g\not\in Z(G)</math>. לכן: <math>p|p^{n-k}=[G:C(g)]</math>. לפי משוואת המחלקות:

<math>|Z(G)|=|G|-\sum_{g\in I} [G:C(g)]</math>

אגף ימין הוא סכום של מספרים שמתחלקים ב-p, ולכן גם אגף שמאל מתחלק ב-p. <math>|Z(G)|</math> הוא מספר חיובי (כי <math>e\in Z(G)</math>) שמתחלק ב-p ולכן <math>p\le |Z(G)|</math>. ∎

שימוש חשוב של משוואת המחלקות הוא להוכחת משפט קושי.

המשוואה משמשת בחלק מההוכחות של המשפט הקטן של ודרברן.