מחלקה (תורת החבורות)
פעולות נוספות
ערך מחפש מקורות
| ||
| ערך מחפש מקורות | |
בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה <math>H</math> היא קבוצה של איברי חבורה <math>G</math> אשר מתקבלת מהכפלת איברי <math>H</math> באיבר קבוע של החבורה.
אוסף המחלקות של תת-חבורה <math>H</math> מהווה חלוקה של <math>G</math> לקבוצות שוות בעוצמתן.
חשוב להדגיש כי אף שמחלקות התת-חבורה נגזרות ישירות ממנה, הן אינן מהוות תת-חבורות בעצמן (למעט המחלקה הטריוויאלית) משום שאינן סגורות לכפל. הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של החבורה <math>G=\{1,-1,i,-i\}</math> והתת-חבורה שלה <math>H=\{1,-1\}</math>. המחלקה הלא-טריוויאלית המתאימה לה היא <math>\{i,-i\}</math>, והיא איננה סגורה לכפל.
הגדרה פורמלית עריכה
תהי <math>G </math> חבורה ותהי <math>H\sube G</math> תת-חבורה שלה. לכל <math>g\in G</math> נאמר כי:
- הקבוצה <math>gH=\{gh:h\in H\}</math> תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של <math>H</math> ב-<math>G</math>.
- הקבוצה <math>Hg=\{hg:h\in H\}</math> תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של <math>H</math> ב-<math>G</math>.
תכונות עריכה
כל שתי מחלקות (מאותו צד) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה <math>H</math>, המחלקות (מאותו צד) של <math>H</math> מהוות חלוקה של <math>G</math> לקבוצות זרות.
הוכחה: אם <math>x\in g_1H\cap g_2H</math> אזי קיימים <math>h_1,h_2</math> עבורם <math>x=g_1 h_1=g_2h_2</math> ולכן <math>g_1=g_2h_2h_1^{-1}</math>. מכיוון ש-<math>h_2h_1^{-1}\in H</math>, נובע כי <math>g_1\in g_2H</math> ולכן <math>g_1H=g_2H</math>. הוכחנו כי אם חיתוך שתי מחלקות לא ריק אזי הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של <math>H</math> מהוות חלוקה של <math>G</math>. לכן "יחס השייכות לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות.
אינדקס עריכה
מספר המחלקות השמאליות (או הימניות) של תת-חבורה <math>H</math> בחבורה <math>G</math> נקרא האינדקס של <math>H</math> ב-<math>G</math>, ומסומן <math>[G:H]</math>.
מספר איברי כל מחלקה של <math>H</math> שווה למספר איברי <math>H</math>. במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה.
מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של חבורה סופית מתחלק בסדר התת-חבורות שלה, לאמר <math>[G:H]=\frac{|G|}{|H|}</math>.
נורמליות עריכה
אם לתת-חבורה <math>H</math> מתקיים <math>gH=Hg</math> לכל <math>g\in G</math> – לאמר, המחלקות השמאליות שוות למחלקות הימניות – החבורה נקראת תת-חבורה נורמלית.
לתת-חבורות נורמליות קיימת חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר חבורת מנה.
דוגמה עריכה
נתבונן בחבורה <math>(\Z,+)</math>, חבורת המספרים השלמים עם פעולת החיבור.
<math>4\Z</math> היא תת-חבורה שלה – כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת-חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות:
- <math>\bigl\{4\Z,1+4\Z,2+4\Z,3+4\Z\bigr\}</math>
נציגים לדוגמה מהמחלקה <math>1+4\Z</math> הם 5, 161, או 3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה <math>3+4\Z</math> הם 3, 23 או 7.
נשים לב גם כי זאת חבורה אבלית, ולכן בהכרח המחלקות השמאליות שוות למחלקות הימניות.