משפט ז'ורדן-הלדר

בתורת החבורות, משפט ז'ורדן-הלדר קובע שאם לחבורה יש סדרת הרכב, כל סדרות ההרכב שלה שקולות; כלומר, בכל זוג סדרות הרכב מספר גורמי ההרכב הוא זהה, וכך גם גורמי ההרכב עצמם ומספר החזרות של כל אחד מהם (עד כדי איזומורפיזם ושינוי סדר). מכיוון שלכל חבורה סופית יש סדרת הרכב, מהמשפט נובע שכל סדרות ההרכב של חבורה סופית הן שקולות.

המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של המשפט היסודי של האריתמטיקה, שהוא מקרה פרטי שלו עבור החבורות החיבוריות <math> \mathbb{Z}_n </math>.

משפט ז'ורדן-הלדר נובע בקלות ממשפט העידון של שרייר, שקובע שלכל שתי סדרות נורמליות של חבורה קיימים עידונים שקולים. עידון של סדרה נורמלית הוא תהליך בו מוסיפים תתי-חבורות לסדרה.

תיאור ההוכחה עריכה

להלן סקירה של שלבי ההוכחה.

למת הפרפר של זסנהאוס עריכה

תהי <math> G </math> חבורה, ונניח כי נתונות תתי החבורות <math> A \vartriangleleft A^* \leq G </math> וכן <math> B \vartriangleleft B^* \leq G </math>. (כאשר <math> \leq </math> סימון לתת-חבורה, ו-<math>\vartriangleleft</math> סימון לתת-חבורה נורמלית). אזי מתקיימים היחסים הבאים:

<math> A \left( A^* \cap B \right) \vartriangleleft A \left( A^* \cap B^* \right) </math>

<math> B \left( A \cap B^* \right) \vartriangleleft B \left( A^* \cap B^* \right) </math>

וכן מתקיים האיזומורפיזם הבא לגבי חבורות המנה:

<math> A \left( A^* \cap B^* \right) / A \left( A^* \cap B \right) \cong B \left( A^* \cap B^* \right) / B \left( A \cap B^* \right) </math>

הוכחה
עיקר ההוכחה הוא האיזומורפיזם בין חבורות המנה. אותו ניתן להסיק ממשפט האיזומורפיזם השני. תחילה שמים לב כי: <math display="block">A \left( A^* \cap B^* \right) / A \left( A^* \cap B \right) \cong \left( A^* \cap B^* \right) / \left(\left(A \left( A^* \cap B \right)\right) \cap \left( A^* \cap B^* \right) \right)= \left( A^* \cap B^* \right) / \left(\left( A \cap B^* \right)\left( A^* \cap B \right) \right), </math> כאשר האיזומורפיזם הראשון נובע ממשפט האיזומורפיזם השני והשיויון אחריו הוא חישוב פשוט. באופן סימטרי מסיקים ש: <math display="block">B \left( A^* \cap B^* \right) / B \left( A \cap B^* \right) \cong \left( A^* \cap B^* \right) / \left(\left( A \cap B^* \right)\left( A^* \cap B \right) \right). </math> הלמה נובעת משילוב שני האיזומורפיזמים האלה.

הוכחת משפט העידון של שרייר עריכה

תהי <math> G </math> חבורה ויהיו <math> \left\{A_i \right\}_{i=0}^n </math>, <math> \left\{ B_j \right\}_{j=0}^m </math> סדרות נורמליות בחבורה. לכל <math> 0 \leq i \leq n </math> ולכל <math> 0 \leq j \leq m </math> החבורות הבאות:

<math> A_{ij} =: A_{i+1} \left( A_i \cap B_j \right) </math>

מלמת הפרפר שהזכרנו נובע שלכל <math> i </math> מתקיים <math> A_{ij} \vartriangleright A_{i,j+1} </math>. כמו כן קל ליווכח כי <math> A_{i0} = A_i </math> וכן <math> A_{im} = A_{i+1} </math>. כעת נבצע את תהליך העידון באופן הבא: לכל תווך <math> A_{i+1} \vartriangleright A_{i} </math> בסדרה הנורמלית המקורית נוסיף את תתי הסדרות שהגדרנו כך:

<math> A_i = A_{i0} \vartriangleright A_{i1} \vartriangleright ... \vartriangleright A_{im} = A_{i+1} </math>

מכך מתקבל עידון של הסדרה הנורמלית <math> \left\{A_i \right\}_{i=0}^n </math>.

באופן סימטרי לגמרי בונים עידון של הסדרה הנורמלית <math> \left\{ B_j \right\}_{j=0}^m </math>, ומחלקה השני של למת הפרפר ניתן להווכח שאכן כל גורמי שתי הסדרות המעודנות איזומורפיים, עד-כדי שינוי סדר.

הוכחת משפט ז'ורדן-הלדר עריכה

תהי <math> G </math> חבורה סופית ויהיו <math> \left\{H_i \right\}_{i=0}^n </math>, <math> \left\{ K_j \right\}_{j=0}^m </math> סדרות הרכב כלשהן של החבורה. נרצה להראות שהסדרות הללו שקולות.

סדרות ההרכב הן בפרט סדרות נורמליות, ולכן ממשפט העידון נובע שקיימים לשתי הסדרות עידונים שקולים, שנסמן <math> \left\{H'_i \right\}_{i=0}^l </math>, <math> \left\{ K'_j \right\}_{j=0}^l </math>. נשים לב שמשקילות העידונים נובע כי שניהם באותו אורך.

קל לראות שסדרה נורמלית היא סדרת הרכב אם ורק אם אין בה חזרות, וכן כל עידון שלה בהכרח יוסיף חזרות. לכן גורמי ההרכב החדשים שמתווספים בעידונים השקולים הם רק <math> \left\{e \right\} </math>, מספר כלשהו של פעמים. משקילות העידונים נובע שבהכרח מספר הפעמים שהגורם הטריוויאלי מתווסף שווה בשתיהן, ומכאן ששאר הגורמים שווים במספרם ואיזומורפיים, ללא חשיבות לסדר. אך שאר הגורמים הם בדיוק גורמי סדרות ההרכב המקוריות, ומכאן כי הן שקולות.