סיגמא-אלגברה

במתמטיקה, סיגמא-אלגברה על קבוצה <math>X</math> היא משפחה של תת-קבוצות של <math>X</math>, הכוללת את הקבוצה הריקה, וסגורה ללקיחת מַשְׁלִים ולאיחוד בן מנייה (ראו ההגדרה להלן). לדוגמה, אוסף הקבוצות המדידות במרחב מידה הוא סיגמא-אלגברה. השימוש בסיגמא-אלגברה נפוץ במיוחד בתורת הקבוצות, תורת המידה ואלגבראות בוליאניות.

הגדרה

סיגמא-אלגברה על קבוצה <math>X</math> היא משפחה <math>\mathcal{A}</math> של תת-קבוצות של <math>X</math>, המקיימת את התכונות הבאות:

1. המשפחה כוללת את הקבוצה הריקה <math>\emptyset</math>.
2. אם <math>E \in \mathcal{A}</math> אז <math>E^\complement = X \setminus E \in \mathcal{A}</math>, כלומר, המשפחה סגורה לפעולת לקיחת המשלים.
3. המשפחה סגורה ביחס לאיחוד בן מנייה: אם <math>\{A_n\}_{n=1}^\infty \subseteq \mathcal{A}</math> אז <math>\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{A}</math>.

משפחה שבה מתקיימות שתי התכונות הראשונות וגרסה חלשה של תכונה 3 (סגירות לאיחוד סופי, במקום לאיחוד בן מנייה) נקראת אלגברה של קבוצות; כל סיגמא-אלגברה היא אלגברה של קבוצות.

תכונות 2 ו-3 גוררות (באמצעות כללי דה מורגן) גם סגירות ביחס לחיתוך בן מנייה.

שימושים ומבנה

זוג סדור <math>( X, \mathcal{A} )</math>, כש-<math>X</math> קבוצה ו-<math>\mathcal{A}</math> הוא <math>\sigma</math>-אלגברה מעל <math>X</math>, נקרא מרחב מדיד. בצירוף פונקציית מידה <math>\mu</math> השלשה הסדורה <math>( X, \mathcal{A}, \mu )</math> נקראת מרחב מידה.

סיגמא-אלגברה מגדירה על המרחב <math>X</math> יחס שקילות, שבו <math>x\equiv y</math> אם ורק אם כל קבוצה ב-<math>\mathcal{A}</math> הכוללת את <math>x</math> כוללת גם את <math>y</math>. אם המרחב <math>X</math> בן מנייה, מחלקות השקילות עצמן שייכות לאלגברה, ובמקרה כזה האלגברה מוגדרת באמצעותן (קבוצה שייכת לאלגברה אם ורק אם היא מהווה איחוד של מחלקות שקילות). מכאן נובע שכל מידה על מרחב בן מנייה היא אטומית.

דוגמאות

• הסיגמא-אלגברה הטריוויאלית המינימלית: מכילה רק את <math>X</math> ואת הקבוצה הריקה.
• הסיגמא-אלגברה הטריוויאלית המקסימלית: מכילה את כל תת-הקבוצות של <math>X</math> ולמעשה, שווה לקבוצת החזקה של <math>X</math>.
• לכל משפחה של סיגמא-אלגברות מעל <math>X</math>, גם החיתוך שלהן הוא סיגמא-אלגברה.
• הסיגמא-אלגברה של בורל: בהינתן מרחב טופולוגי <math>X</math>, נגדיר את הסיגמא אלגברה של בורל להיות הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות. קבוצה בסיגמא-אלגברה של בורל נקראת קבוצת בורל, הקבוצות הבאות הן קבוצות בורל:
  • קבוצות סגורות, קבוצות פתוחות.
  • קבוצות <math>G_\delta</math> (כלומר כאלו שהן חיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות).
  • קבוצות <math>F_\sigma</math> (כלומר קבוצה שהיא איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות).
• הסיגמא אלגברה של בורל עבור <math>X = \Reals</math> מכילה גם את כל הקטעים מכל הסוגים, כולל קרניים. ולמעשה היא נוצרת על ידי אוספים פשוטים יותר של קבוצות, למשל כל הקטעים הסגורים, כל הקטעים הפתוחים או כל הקרניים מהצורה <math>(x,\infty)</math>.

ראו גם

• אלגברה של קבוצות
• חוג של קבוצות

קישורים חיצוניים

• סיגמא-אלגברה, באתר MathWorld (באנגלית)