משוואה ליניארית

קובץ:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, משוואה ליניארית היא משוואה שכל המשתנים בה הם ממעלה ראשונה, כלומר מופיעים ללא חזקות. הצורה הכללית של משוואה ליניארית היא זאת: <math>\ \alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+...+\alpha_n x_n=b</math>. משוואה כזו נקראת "משוואה ליניארית ב-n נעלמים". האיברים <math>\ x_i</math> נקראים הנעלמים במשוואה, והאיברים <math>\ \alpha_i</math>נקראים המקדמים של הנעלמים. האיבר b נקרא מקדם חופשי. מקדמי המשוואה הם סקלרים השייכים לשדה ידוע, כגון שדה המספרים הממשיים, או לחוג כללי יותר.

פתרון של המשוואה הוא n-יה <math>\ {a_1,a_2,...,a_n}</math> כך שהצבת הערכים המספריים <math>\ a_i</math>במקום הנעלמים <math>\ x_i</math> תניב את השוויון המבוקש.

בלשון פיזיקלית, לנעלמים נהוג לקרוא דרגות חופש ולמשוואות נהוג לקרוא אילוצים. מכיוון שמערכות של משוואות ליניאריות הן הסוג היחיד של משוואות שאפשר לפתור באופן מלא (כלומר, יש שיטה לחשב באופן אנליטי את כל הפתרונות, דבר שלא קיים עבור מערכות משוואות לא ליניאריות) יש חשיבות רבה ליכולת להמיר משוואות אחרות לצורה ליניארית, או לפחות לקרב באופן ליניארי מצבים מורכבים יותר.

משתנה אחד

במקרה של משתנה אחד בלבד, למשוואה הליניארית קיים בדיוק פתרון אחד (בתנאי ש - <math>\ a \neq 0</math>). לעיתים, המונח "משוואה ליניארית" מתייחס במובלע למקרה הספציפי הזה, שבו המשתנה נקרא באופן טבעי "הנעלם".

במקרה זה המשוואה היא מהצורה: <math>\ a x=b</math>ופתרונה הוא <math>\ x=b/a</math>.

שני משתנים: תיאור קו ישר במישור

קובץ:Cartesian-coordinate-system.svg

מערכת צירים קרטזית במישור

קובץ:Linear-function-1.png

איור של קו ישר (פונקציה ליניארית)

קובץ:Linear Function.png

איור הממחיש את הגדרת השיפוע של קו ישר

אם b ≠ 0, אזי המשוואה: <math>ax+by=c </math>

היא משוואה ליניארית במשתנה היחיד y עבור כל ערך של x. לכן יש לה פתרון ייחודי עבור y, הניתן על ידי:

<math>y=-\frac ab x-\frac cb </math>

משמעות גאומטרית

רנה דקארט הראה שאפשר לתאר את המישור האוקלידי באמצעות מערכת צירים קרטזית. במערכת זו, ישנו ציר אופקי שנקרא ציר ה-x וציר אנכי, הניצב לו, שנקרא ציר ה-y. אפשר לחשוב על כל ציר כמעין "סרגל" שמאפשר לתת לכל נקודה במישור שני מספרים המתארים את מיקומה.

כאשר <math>b \neq 0</math> המשוואה הליניארית בשני משתנים מגדירה פונקציה. הגרף של פונקציה זו הוא קו ישר עם שיפוע <math>-\frac ab </math> וחיתוך עם ציר y <math>-\frac cb </math>.

הישר מקביל לציר ה-x אם <math>a= 0</math> ומקביל לציר ה-y אם <math>b= 0</math>.

האופן הנפוץ לכתוב משוואת קו ישר הוא

<math>y = m x + n</math>

כאשר m הוא שיפוע הישר, ו-n הוא נקודת החיתוך עם ציר ה-y (קל לראות שעבור <math>x= 0</math> מקבלים <math>y= n</math>). באמצעות טריגונומטריה ניתן להראות ש-

<math>m = \frac{ \Delta y}{\Delta x} = \tan \theta</math>

כאשר <math>\theta</math> היא הזווית בין הישר לציר ה-x.

משוואת ישר עם שיפוע m שעובר דרך הנקודה (a,b) נתונה על ידי

<math>y - b = m \cdot (x-a)</math>

או באופן שקול

<math>y = m x + b - a m</math>.

משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות <math>(a_1,b_1) \, \ (a_2, b_2 )</math> (בהנחה ש-<math>a_1 \ne a_2</math>, המקרה בו הם שווים הוא טריוויאלי) היא

<math>y = \frac{b_2 - b_1}{a_2 - a_1} ( x - a_2) + b_2 = \frac{b_2 - b_1}{a_2 - a_1} \cdot x - a_2 \frac{b_2 - b_1}{a_2 - a_1} + b_2</math>.

פיתוח הנוסחה: משתמשים במשוואה הקודמת, עם הצבת <math>a = a_2, b = b_2</math> והשיפוע m שנתון על ידי

<math>m = \frac{b_2 - b_1}{a_2 - a_1} </math>.

הצבת כל אלה תיתן

<math>y - b_2 = \frac{b_2 - b_1}{a_2 - a_1} \cdot (x-a_2)</math>

ומכאן קל להגיע לנוסחה הרשומה לעיל.

יותר משני משתנים

משוואה ליניארית עם יותר משני משתנים ניתן לכתוב בצורה הבאה:

<math>a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n + b=0.</math>

כאשר כל <math>\ a_j \neq 0</math>, ניתן למצוא פתרון לכל <math>\ x_j</math>באופן הבא:

<math>x_j = -\frac b{a_j} -\sum_{i\in \{1,\ldots,n\}, i\ne j} \frac {a_i}{a_j}x_i .</math>

מערכת משוואות ליניאריות

קובץ:Postscript-viewer-blue.svg ערך מורחב – מערכת משוואות ליניאריות

במקרים רבים יש לפתור מערכת משוואות ליניארית, כלומר קבוצה של מספר משוואות ליניאריות, ולא משוואה בודדת. במקרה כזה מחפשים פתרון למערכת - כלומר, פתרון שמתאים לכל המשוואות יחד. מערכת משוואות תיכתב בצורה הכללית ביותר כך:

<math>\ \alpha_{11} x_1+\alpha_{12} x_2+...+\alpha_{1n} x_n=b_1</math>

<math>\ \alpha_{21} x_1+\alpha_{22} x_2+...+\alpha_{2n} x_n=b_2</math>

:

:

<math>\ \alpha_{m1} x_1+\alpha_{m2} x_2+...+\alpha_{mn} x_n=b_m</math>

זוהי מערכת של m משוואות ב-n נעלמים. נשים לב כי האינדקס של המקדמים הוא כפול: המספר הראשון בו מציין את השורה שבה מופיע המקדם (כלומר, מספר המשוואה) והאינדקס השני מציין את מספר המשתנה שאליו צמוד המקדם.

מערכת משוואות שבה <math>\ b_1=b_2=...=b_m=0</math> תיקרא מערכת משוואות הומוגנית.

הצגה באמצעות מטריצות

את מערכת המשוואות נוח להציג בצורה מטריציונית. בצורת הצגה זו, n-ית הנעלמים מוצגת כווקטור עמודה <math>\vec{x}</math> מממד n ואילו אוסף המקדמים מוצג כמטריצה A מסדר <math>\ m \times n</math> ואילו m-ית המקדמים החופשיים <math>\vec{b}</math> מוצגת כווקטור עמודה מממד m. בצורה זו המערכת תיוצג כשוויון בין מכפלת מטריצת המקדמים בווקטור הנעלמים לבין וקטור המקדמים החופשיים. כלומר: <math>\ A \vec{x} = \vec{b}</math>. באופן מפורש:

<math>

{ \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \cdots & \alpha_{mn} \end{pmatrix} }

{ \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} } = { \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} } </math>

ראו גם

• משוואה דיפרנציאלית ליניארית

קישורים חיצוניים

• מבוא לאלגברה ליניארית, פרק ב', אמנון יקותיאלי, המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בן-גוריון
• משוואה ליניארית, באתר MathWorld (באנגלית)
• משוואה ליניארית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)