חבורה אוניפוטנטית

במתמטיקה ובפרט בגאומטריה אלגברית חבורות אוניפוטנטיות מהוות משפחה חשובה של חבורות אלגבריות ליניאריות. דוגמה לחבורה אוניפוטנטית היא החבורה <math>U_n</math> של מטריצות משולשיות עליונות <math>n\times n</math> שכל איברי האלכסון שלהן שווים ל-1. חבורה נקראת אוניפוטנטית אם ורק אם היא איזומורפית לתת חבורה אלגברית סגורה של <math>U_n</math>.

חבורות אוניפוטנטיות סגורות לגבי תת-מנות והרחבות. אם המציין של שדה ההגדרה הוא -0, אז כל חבורה אוניפוטנטית היא קשירה ופשוטת קשר. החבורה <math>U_1</math> איזומורפית לחבורה החיבורית של שדה ההגדרה <math>\mathbb G_a</math>. אפשר לראות בדוגמה זו את הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה אוניפוטנטית. במובן מסוים כל החבורות האוניפוטנטיות מורכבות ממנה. לכל חבורה אוניפוטנטית יש מרכז לא טריוויאלי. אם מרכז זה אינו סופי אז הוא מכיל תת-חבורה איזומרפית ל-<math>\mathbb G_a</math>. אם שדה ההגדרה סגור אלגברית וממציין - 0, אז מרכז זה הוא חזקה של החבורה <math>\mathbb G_a</math>. מכאן ניתן להסיק, שבמציין - 0, עבור חבורה אלגברית <math>G</math> הדברים הבאים שקולים:

• <math>G</math> אוניפוטנטית.
• ל - <math>G</math> סדרה מרכזית שגורמיה הם <math>\mathbb G_a</math>.
• ל - <math>G</math> סדרה נורמלית שגורמיה הם <math>\mathbb G_a</math>.

אם מציין שדה ההגדרה הוא מספר <math>p\neq 0</math> אז חבורת רכיבי הקשירות של חבורה אוניפוטנטית היא חבורת p. כמו כן ניתן להראות כי אם שדה ההגדרה סגור אלגברית וממציין <math>p</math>, אז עבור חבורה אלגברית <math>G</math> הדברים הבאים שקולים:

• <math>G</math> אוניפוטנטית.
• ל - <math>G</math> סדרה מרכזית שגורמיה הם <math>\mathbb G_a</math> והחבורה הציקלית בעלת <math>p</math> איברים <math>C_p</math>.
• ל - <math>G</math> סדרה נורמלית שגורמיה הם <math>\mathbb G_a</math> ו - <math>C_p</math>.

לחבורת אוניפוטנטיות תפקיד חשוב בתורת המיון והמבנה של חבורות אלגבריות ליניאריות. כל חבורה אלגברית ליניארית היא הרחבה של חבורה רדוקטיבית וחבורה אוניפוטנטית. אם מציין שדה ההגדרה הוא 0 אז ההרחב הזאת היא מכפלה חצי ישרה.

הערות שוליים

קובץ:P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.