אפיגרף (מתמטיקה)
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פעולות נוספות
במתמטיקה, האֶפִּיגְרָף של פונקציה f : Rn→R היא קבוצת הנקודות שנמצאות מעל או על הגרף:
- <math>\mbox{epi} f = \{ (x, \mu) \, : \, x \in \mathbb{R}^n,\, \mu \in \mathbb{R},\, \mu \ge f(x) \} \subseteq \mathbb{R}^{n+1}.</math>
האפיגרף המוגבל הוא האפיגרף ללא הגרף עצמו:
- <math>\mbox{epi}_S f = \{ (x, \mu) \, : \, x \in \mathbb{R}^n,\, \mu \in \mathbb{R},\, \mu > f(x) \} \subseteq \mathbb{R}^{n+1}.</math>
הגדרה זהה קיימת לפונקציה שלוקחת ערכים מהתחום R ∪ ∞., ובמקרה זה, האפיגרף הוא הקבוצה הריקה אם ורק אם f זהה לאינסוף (<math>f \equiv \infty</math>). אפשר גם להגדיר את האפיגרף כאשר התמונה היא כל מרחב וקטורי. בצורה דומה, אפשר להגדיר את קבוצת הנקודות שמתחת לגרף, שהיא ההיפוגרף. מאפיינים של האפיגרף הם:
- פונקציה היא קמורה אם ורק אם האפיגרף שלה היא קבוצה קמורה.
- פונקציה היא פונקציה רציפה למחצה אם ורק אם האפיגרף שלה היא קבוצה סגורה.