קדם-מידה

קובץ:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בתורת המידה, קדם-מידה (באנגלית: Pre-measure) היא פונקציה שהיא "כמעט" פונקציית מידה, במובן זה שמשפחת הקבוצות שהיא מודדת אינה מהווה סיגמא-אלגברה.

חשיבותה של קדם-מידה היא שכאשר היא מוגדרת על משפחת קבוצות המקיימת תכונות מסוימות, אז היא יכולה להתרחב לכדי פונקציית מידה על סיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי משפחת הקבוצות הזו, לעיתים אף באופן יחיד. תכונה חשובה זו מכונה משפט ההרחבה, שלו שתי גרסאות: גרסת קרתאודורי עבור קדם-מידה המוגדרת על חוג למחצה של קבוצות, וגרסת האן-קולמוגורוב עבור קדם-מידה המוגדרת על אלגברה של קבוצות.

שיטה זו של בניית מידה על ידי בניית קדם-מידה היא חשובה ויסודית בתורת המידה, וכך למשל יש לה תפקיד מרכזי בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים.

הגדרה

תהי <math>X</math> קבוצה, ותהי <math>\mathcal{S}</math> אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות מעל <math>X</math>.

פונקציה <math>\mu_0 : \mathcal{S} \to \mathbb{R}_+</math> נקראת קדם מידה, אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:

1. <math>\mu_0 \left( \emptyset \right) = 0</math>
2. אם <math>A = A_1 \cup A_2 \cup \dots </math> איחוד סופי או בן-מניה של קבוצות זרות בזוגות מתוך <math>\mathcal{S}</math>, המקיים גם כי <math>A \in \mathcal{S}</math>, אז
   <math display="block">\mu_0 \left( A \right) = \mu_0 \left( A_1 \right) + \mu_0 \left( A_2 \right) + \dots</math>

הסיבה לסימון <math>\mu_0</math> היא כי קדם-מידה מיועדת להפוך למידה, כפי שמראה משפט ההרחבה, אותה מסמנים בדרך כלל <math>\mu</math>.

משפט ההרחבה

נסמן ב-<math>\sigma \left( \mathcal{S} \right)</math> את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות <math>\mathcal{S}</math>. לכל קדם-מידה <math>\mu_0 : \mathcal{S} \to \mathbb{R}_+</math>, קיימת מידה <math>\mu : \sigma \left( \mathcal{S} \right) \to \mathbb{R}_+</math> המרחיבה את <math>\mu_0</math>. כלומר, לכל <math>A \in \mathcal{S}</math> מתקיים <math>\mu \left( A \right) = \mu_0 \left( A \right)</math>.

כמו כן, במצב בו <math>\mu_0</math> היא סיגמא-סופית, אז <math>\mu</math> יחידה. במצב זה, כמובן גם <math>\mu</math> היא סיגמא-סופית.

ניתן להבחין כי אין כל הבדל בין אם קדם המידה מוגדרת על חוג למחצה של קבוצות או על חוג של קבוצות הנוצר על-ידה, שכן חוג של קבוצות הנוצר על ידי חוג למחצה של קבוצות הוא בדיוק אוסף כל האיחודים הסופיים של קבוצות זרות בזוגות מהחוג למחצה. לכן מאדיטיביות של קדם-מידה, היא מתרחבת באופן יחיד לכדי קדם-מידה על החוג הנוצר.

הגרסה של משפט ההרחבה עבור חוג למחצה של קבוצות נקראת משפט ההרחבה של קרתאודורי על-שם המתמטיקאי היווני-גרמני קונסטנטין קרתיאודורי. הגרסה של משפט ההרחבה עבור אלגברה של קבוצות נקראת משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, על-שמם של המתמטיקאי האוסטרי האנס האן והמתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.

אי היחידות של ההרחבה

כאמור במשפט, היחידות מובטחת רק כאשר המרחב הוא סיגמא-סופי ביחס לקדם המידה הנתונה. כאשר דרישה זו לא מתקיימת, אפילו אם המרחב כן סיגמא-סופי ביחס למידה המרחיבה, היחידות אינה מובטחת. להלן דוגמה לכך.

נתבונן במרחב <math>X = \mathbb{Q} \cap \left[ 0,1 \right]</math>, ותהי <math>\mathcal{S}</math> האלגברה של קבוצות הנוצרת על ידי הקטעים החצי-פתוחים במרחב, מהצורה <math>\left[ a,b \right)</math>.

נתבונן בקדם-מידה טריוויאלית על <math>\mathcal{S}</math> המקיימת <math>\mu_0 \left( \left[ a,b \right) \right) = \infty</math> לכל קטע. כמו כן נגדיר על הסיגמא-אלגברה <math>\sigma \left( \mathcal{S} \right)</math> מידה <math>\mu \left( A \right) = \left| A \right|</math> ועוד מידה <math>\nu \left( A \right) = 2 \cdot \left| A \right|</math>, כאשר <math>\left| A \right|</math> הוא הגודל של הקבוצה <math>A</math>, והוא <math>\infty</math> בכל מצב בו הקבוצה אינה סופית.

אלו שתי מידות שמקבלות ערכים שונים על כל קבוצה סופית של <math>\sigma \left( \mathcal{S} \right)</math> (יש קבוצות סופיות בסיגמא-אלגברה זו), וכמו כן ברור ששתיהן מרחיבות את הקדם-מידה <math>\mu_0</math>, שכן כל קטע <math>\left[ a,b \right)</math> במרחב מכיל אינסוף איברים, ולכן <math>\mu \left( \left[ a,b \right) \right) = \nu \left( \left[ a,b \right) \right) = \infty</math>.

בניית מידת לבג

קובץ:Postscript-viewer-blue.svg ערך מורחב – מידת לבג

היישום החשוב ביותר של משפט ההרחבה הוא בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים. בבנייה זו מתחילים מהחוג למחצה או האלגברה הנוצרים על ידי <math>\mathcal{S} = \left\{ \left( a,b \right] : a<b \right\}</math>, כאשר <math>b</math> יכול להיות גם אינסופי, ומגדירים עליו קדם-מידה להיות הנפח, כלומר <math>\mu_0 \left( \left( a,b \right] \right) = b-a</math>. כאשר מדובר בקטע אינסופי, ערכה של הקדם-מידה יהיה <math>\infty</math>. ממשפט ההרחבה נובע שקיימת מידה על <math>\sigma \left( \mathcal{S} \right)</math> המרחיבה את <math>\mu_0</math>. מידה זו מכונה "מידת בורל".

מידת לבג עצמה מתקבלת על ידי עוד הרחבה של מידת בורל, המוגדרת על סיגמא-אלגברה גדולה יותר המכילה את <math>\sigma \left( \mathcal{S} \right)</math>.

כפי שנובע מהחלק הנוסף של משפט ההרחבה, היות שהמספרים הממשיים מהווים מרחב מדיד סיגמא-סופי ביחס לקדם-מידת הנפח, הרי שמידת לבג היא המידה היחידה על סיגמא-אלגברת בורל, שמקיימת את התכונה האינטואיטיבית שמידתו של כל קטע <math>\left( a,b \right]</math> היא האורך שלו, <math>b-a</math>.

לקריאה נוספת

• Real Analysis, H. L. Royden, 1963, 219-224

קישורים חיצוניים

• קדם-מידה, באתר MathWorld (באנגלית)

• משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, באתר PlanetMath
• משפט ההרחבה של קרתאודורי באתר PlanetMath
• Outer measures, pre-measures, and product measures בבלוג "What's new"
• An alternate approach to the Carathéodory extension theorem בבלוג "What's new"