שדה סגור אלגברית

במתמטיקה, שדה <math>F</math> הוא סגור אלגברית אם לכל פולינום לא קבוע עם מקדמים מ-<math>F</math> קיים שורש ב-<math>F</math>.

דוגמאות עריכה

שדה המספרים הממשיים <math>\mathbb {R}</math> הוא לא סגור אלגברית. הפולינום <math>x^2 + 1</math>, למשל, הוא פולינום עם מקדמים ממשיים (0 ו-1) שלא קיים לו שום שורש ממשי - לא קיים מספר ממשי <math>x</math> כך ש-<math>x^2 + 1=0</math>. בצורה דומה ניתן לראות שכל תת-שדה של שדה המספרים הממשיים (ובפרט, למשל, שדה המספרים הרציונליים) הוא אינו סגור אלגברית.
כל שדה סופי <math>F</math> הוא לא סגור אלגברית. אם <math>a_1,\ldots,a_q</math> הם איברי השדה <math>F</math>, אז הפולינום <math>(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_q) + 1 = x^q-x+1 \in F[x] </math> הוא פולינום שמקדמיו מ-<math>F</math> אבל לא קיים לו שורש ב-<math>F</math>.
בניגוד לדוגמאות הקודמות, לפי המשפט היסודי של האלגברה, שדה המספרים המרוכבים הוא סגור אלגברית (למשל, לפולינום <math>x^2 + 1</math> קיים שורש מרוכב).
דוגמה נוספת לשדה סגור אלגברית הוא שדה המספרים האלגבריים, שהוא הסגור האלגברי של שדה המספרים הרציונליים.
הסגור האלגברי של שדה סופי ממאפיין <math>p</math> הוא האיחוד של כל השדות הסופיים מאותו מאפיין. לשדה המתקבל קוראים לפעמים <math>GF(p^{\infty})</math>.

הגדרות שקולות עריכה

שדה <math>F</math> הוא סגור אלגברית אם ורק אם הוא מקיים את אחת התכונות השקולות הבאות:

אין לשדה הרחבה לא טריוויאליות מממד סופי.
אין לשדה הרחבה אלגברית לא טריוויאליות
לכל פולינום מעל השדה (שאינו קבוע), יש שורשים בשדה.
כל פולינום ממעלה גדולה מ-1 מעל השדה הוא פריק.
כל פולינום שמקדמיו בשדה <math>F</math> מתפצל שם לגורמים ליניאריים.
לכל מטריצה ריבועית ישנו ערך עצמי.

חשיבות גאומטרית עריכה

בגאומטריה אלגברית, כאשר חוקרים מערכות משוואות מנקודת מבט גאומטרית, עובדים תמיד מעל שדה סגור אלגברית; גישה זו מסירה את ההפרעות האריתמטיות (שנובעות מאי-קיום שורשים לפולינומים או למערכות של פולינומים), ומותירה רק את האופי הגאומטרי שלהם. לדוגמה, כאשר עוסקים במספרים רציונליים, הקו הישר <math>y=x</math> אינו נחתך עם המעגל <math>x^2+y^2=1</math> (משום שנקודות החיתוך <math>x=y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}</math> אינן רציונליות). שתי נקודות החיתוך מופיעות כאשר עוברים לסגור האלגברי.

סגור אלגברי עריכה

לכל שדה <math>F</math> ישנו שדה הרחבה סגור אלגברית. מבין כל שדות ההרחבה הסגורים אלגברית, קיים ויחיד (עד כדי איזומורפיזם, שאיננו יחיד), שהוא הרחבה אלגברית של <math>F</math>, והוא נקרא הסגור האלגברי של <math>F</math>.

הכללות עריכה

סגירות אלגברית נחקרה גם בהקשר של חוגים עם חילוק שאינם שדות, אבל הדוגמאות ספורדיות ואינן עולות לכדי תאוריה אחידה ([1]).

קישורים חיצוניים עריכה

שדה סגור אלגברית, באתר MathWorld (באנגלית)

עץ מיון של שדות

עץ מיון של חוגים קמוטטיביים

שדה נוצר סופית

שדה ממאפיין חיובי

שדה ראשוני

שדה גלובלי

הרחבה סופית של <math>(t)</math><math>\mathbb F_p</math>

שדה סגור אלגברית

שדה ממאפיין אפס

שדה סופי

שדה מקומי לא ארכימדי^[1]

שדה מקומי ארכימדי^[1]

שדה ניתן לסידור

<math> \mathbb F_{p} </math>

שדה מספרים

שדה p-אדי

שדה סגור ממשית^[2]

מקרא

	מחלקה של שדות או שדה בודד
	מסלול שיורד למטה מצביע על כך שהמחלקה התחתונה היא חלק מהמחלקה העליונה

<math>\cap</math>	מחלקה המהווה חיתוך של המחלקות שמכילות אותה ומופיעות בתרשים.
<math>\cup</math>	מחלקה המכוסה על ידי תתי-המחלקות שלה המופיעות בתרשים.

<math>\Complex</math>

<math>((t))</math><math>\mathbb F_q</math>

ראו גם: עץ מיון של הרחבות שדות

^ ¹ ² ³ שדות מקומיים, מהווים מחלקה של שדות טופולוגיים ולא של שדות. אולם, המבנה האלגברי של שדה על שדה מקומי מגדיר ביחידות את הטופולוגיה עליו, לכן ניתן לראות בהם כמחלקה של שדות
^ שדות סגורים ממשית ,מהווים מחלקה של שדות סדורים ולא של שדות. אולם, המבנה של שדה על שדה סגור ממשית מגדיר ביחידות את הסדר עליו, לכן ניתן לראות בהם כמחלקה של שדות

[שדה_מקומי-1] ¹ ² ³ שדות מקומיים, מהווים מחלקה של שדות טופולוגיים ולא של שדות. אולם, המבנה האלגברי של שדה על שדה מקומי מגדיר ביחידות את הטופולוגיה עליו, לכן ניתן לראות בהם כמחלקה של שדות

[2] שדות סגורים ממשית ,מהווים מחלקה של שדות סדורים ולא של שדות. אולם, המבנה של שדה על שדה סגור ממשית מגדיר ביחידות את הסדר עליו, לכן ניתן לראות בהם כמחלקה של שדות

[1]

[2]