שורש (של פונקציה)
פעולות נוספות
| קובץ:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
בערך זה |
שורש של פונקציה הוא איבר בתחום ההגדרה של הפונקציה שעבורו ערך הפונקציה הוא 0. שורשים של פונקציה נקראים גם אפסים של הפונקציה או פתרונות של הפונקציה.
למשל עבור הפונקציה <math>f\left(x\right)=\sin(x)</math> הצבת <math>x = \pi</math> תחזיר <math>f(x)=0</math>, ולכן <math>x = \pi</math> הוא שורש של הפונקציה. דוגמה נוספת: תהא A מטריצה ממשית בעלת m שורות ו n עמודות (כאשר m, n הם שני מספרים טבעיים), ויהא b וקטור ב<math>\mathbb{R}^m</math>. הווקטור <math>z\in \mathbb{R}^n</math> הוא פתרון למערכת המשוואות הליניאריות <math>Ax=b</math> אם ורק אם <math>z</math> הוא שורש של הפונקציה <math>f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</math>המוגדרת באופן הבא: <math>f(x):=Ax-b</math> לכל <math>x</math> ב <math> \mathbb{R}^n</math> (כי אם <math>z</math> פותר את מערכת המשוואות אז <math>Az=b</math> ולכן <math>f(z)=Az-b=0</math>, ולהפך, אם <math>f(z)=0</math>, אז <math>Az-b=0</math>כלומר <math>Az=b</math> ולכן <math>z</math> הוא פתרון של מערכת המשוואות <math>Ax=b</math>).
כפועל יוצא מההגדרה, שורש של פונקציה מהישר הממשי לעצמו הוא ה-<math>x</math> שעבורו נחתך גרף הפונקציה עם ציר ה-x. כך למשל נקודות החיתוך של הפונקציה <math display="inline">f\left(x\right)=x^2-4</math> עם ציר ה-x הן כששיעורי ה-<math>x</math> הם 2 ו-2-.
בעיית מציאת השורשים של פונקציות באופן נומרי היא כר פורה למחקר מתמטי. שיטות בסיסיות בענף כוללות את שיטת החצייה ושיטת ניוטון-רפסון, שהיא שיטה איטרטיבית למציאת שורשים בעזרת נגזרות.
לא לכל פונקציה יש שורש. לדוגמה, לפונקציה <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> המוגדרת ע״י <math>f(x):=\sin(x)-2</math> אין שורש, כי אם בשלילה <math>z</math> הוא שורש של הפונקציה, אז <math>\sin(z)=2</math> וזה בלתי אפשרי (כי פונקציית הסינוס חסומה בין 1- ל 1).
שורש של פולינום עריכה
עבור משוואה ממעלה ראשונה, <math>ax+b = 0</math>, <math>a\neq 0</math>, הפתרון הוא הנקודה <math>x=-b/a</math>.
עבור משוואה ממעלה שנייה, <math>ax^2+bx+c = 0</math>, <math>a\neq 0</math>, יש שני פתרונות (שלפעמים מתלכדים): <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>.
קיימות נוסחאות גם למשוואות ממעלה שלישית ורביעית. אולם, אווריסט גלואה הוכיח כי אין פתרון באמצעות רדיקלים למשוואה ממעלה חמישית ומעלה.
המשפט הקטן של בזו קובע כי <math>a</math> הוא שורש של פולינום <math>P(x)</math>, אם ורק אם הפולינום <math>(x-a)</math> מחלק את <math>P(x)</math>. החזקה המקסימלית שבה מחלק <math>x-a</math> את הפולינום נקראת הריבוי (האלגברי) של השורש.
המשפט היסודי של האלגברה קובע ששדה המספרים המרוכבים הוא סגור אלגברית, כלומר שלכל פולינום ממעלה <math>n</math> במקדמים מרוכבים, יש בדיוק <math>n</math> שורשים כולל ריבוי.
כל שורש שלם של פולינום שהמקדמים שלו שלמים מחלק את המקדם החופשי של הפולינום.
כל שורש רציונלי של פולינום שהמקדמים שלו שלמים, <math> \frac{a}{c}</math>, שבר מצומצם, מקיים:
1.a מחלק את המקדם החופשי.
2.c מחלק את המקדם המוביל.
מנגזרת של כפל של איברים נובע שאם <math>(x-a)^t\times q(x)</math>= p(x), אז a הוא שורש גם של t-1 הנגזרות הראשונות של p.
