פונקציית האינטגרל הלוגריתמי
פעולות נוספות
במתמטיקה, פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא פונקציה מתמטית חשובה, הידועה בעיקר בזכות משפט המספרים הראשוניים. היא מוגדרת להיות:
- <math> {\rm li} (x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t}. \; </math>
לפונקציה <math>1/\ln(t)</math> יש סינגולריות בתחום t=1, ולכן הפונקציה מוגדרת במדויק לכל <math>x<1</math>, ומוגדרת לכל <math>x>1</math> באמצעות הערך הראשי של קושי (Cauchy Princpal value), בנוסחה:
- <math> {\rm li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( \int_0^{1-\varepsilon} \frac{dt}{\ln t} + \int_{1+\varepsilon}^x \frac{dt}{\ln t} \right). \; </math>
פונקציית האינטגרל הלוגריתמי ההפוך עריכה
פונקציית האינטגרל הלוגריתמי או פונקציית האינטגרל הלוגרתמי של אוילר מוגדרת להיות:
- <math> {\rm Li}(x) = {\rm li}(x) - {\rm li}(2) \, </math>
או בצורה אינטגרלית:
- <math> {\rm Li} (x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t} \, </math>.
פונקציה זו אינה בעלת נקודה סינגולרית, והיא מדויקת בחישוב כמות של מספרים ראשונים הקטנים מ-x.
הצגות נוספות של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי עריכה
הצגה על ידי פונקציית האינטגרל האקספוננטי עריכה
לפונקציה יש קשר עם פונקציית האינטגרל האקספוננטי (Ei(x)) על ידי המשוואה:
- <math>\hbox{li}(x)=\hbox{Ei}(\ln x), \,\!</math>
שנפתרת על ידי כל מספר חיובי. קשר נוסף הוא על ידי קבוע אוילר-מסקרוני:
- <math> {\rm li} (e^u) = \hbox{Ei}(u) =
\gamma + \ln |u| + \sum_{n=1}^\infty {u^{n}\over n \cdot n!} \quad \text{ for } u \ne 0 \;, </math> חישוב נוסף של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא:
- <math>
{\rm li} (x) =
\gamma
+ \ln \ln x
+ \sqrt{x} \sum_{n=1}^\infty
\frac{ (-1)^{n-1} (\ln x)^n} {n! \, 2^{n-1}}
\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{1}{2k+1} .
</math>
הצגה על ידי הרחבה אסימפטוטית עריכה
ניתן להציג את פונקציית האינטגרל הלוגריתמי גם על ידי הרחבה אסימפטוטית שיש לו. לדוגמה:
- <math> {\rm li} (x) = O \left( {x\over \ln x} \right) \; . </math>
כאשר O הוא סימון לנדאו. רישום מלא של הפונקציה על ידי הרחבה אסימפטוטית הוא:
- <math> {\rm li} (x) \sim \frac{x}{\ln x} \sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{(\ln x)^k} </math>
או:
- <math> \frac{{\rm li} (x)}{x/\ln x} \sim 1 + \frac{1}{\ln x} + \frac{2}{(\ln x)^2} + \frac{6}{(\ln x)^3} + \cdots. </math>
רישום זה גורר לרישם הבא:
- <math> {\rm li} (x) - {x\over \ln x} = O \left( {x\over \ln^2 x} \right) \; . </math>
הערה, הרישום האחרון כסדרה אינו מתכנס, אז חשוב לסדרה תהיה מספר סופי של איברים.
ערכים מיוחדים של הפונקציה עריכה
לפונקציה יש שורש חיובי יחיד, הידוע בתור קבוע רמנוג'אן-סולדר, אשר קרוב שלה הוא x ≈ 1.45136 92348 ... .בנוסף לכך, הערך של הפונקציה בנקודה x=2 הוא <math>-(\Gamma\left(0,-\ln 2\right) + i\,\pi)</math> כאשר <math>\Gamma\left(a,x\right)</math> היא פונקציית גמא הלא שלמה.
ראו גם עריכה
קישורים חיצוניים עריכה
- פונקציית האינטגרל הלוגריתמי, באתר MathWorld (באנגלית)