סיכום צ'זארו

באנליזה מתמטית, סיכום צ'זארו מאפשר לתת ערכים לטורים אינסופיים שאינם מתכנסים במובן המקובל. סכום צ'זארו מוגדר כגבול, כאשר <math>n</math> שואף לאינסוף, של סדרת הממוצעים החשבוניים של <math>n</math> הסכומים החלקיים הראשונים של הטור. במובן של תורת הסומביליות, שיטה זאת נותנת לטור אינסופי את הערך ההגיוני והסביר ביותר. למעשה, הסתכלות הסתברותית על בעיית הסיכום של טור מתבדר מאפשרת לפרש את סכום צ'זארו כממוצע של סדרת הסכומים החלקיים עד הסכום החלקי ה-<math>n</math>-י, כאשר <math>n</math> שואף לאינסוף. השיטה נקראת על שם האנליסט האיטלקי ארנסטו צ'זארו (1859–1906).

הגדרה

תהי <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> סדרה, ויהי

<math>s_k = a_1 + \cdots + a_k= \sum_{n=1}^k a_n</math>

הסכום החלקי ה-<math>k</math> שלה.

הסדרה <math>a_n</math> תיקרא ניתנת לסכימה לפי צ'זארו, עם סכום צ'זארו <math>A\in\mathbb{R}</math>, אם, כאשר <math>n</math> שואף לאינסוף, הממוצע החשבוני של <math>n</math> הסכומים החלקיים הראשונים שלה <math>s_1,s_2,\dots,s_n</math> שואף ל-<math>A</math>:

<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n s_k = A</math>.

הערך של הגבול המתקבל ייקרא סכום צ'זארו של הטור <math>\textstyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math>. אם הטור הזה מתכנס במובן הרגיל, אז סכום צ'זארו שלו שווה לסכום הרגיל.

דוגמאות

דוגמה ראשונה

תהי <math>a_n=(-1)^n</math> בעבור <math>n \geq 0</math>. כלומר, <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math> היא הסדרה <math>(1, -1, 1, -1, \ldots)</math>. יהי <math>G</math> הטור <math>G = \sum_{n=0}^\infty a_n = 1-1+1-1+1-\cdots </math>. הטור <math>G</math> ידוע כטור גרנדי.

נסמן ב-<math>(s_k)_{k=0}^\infty</math> את סדרת הסכומים החלקיים של <math>G</math>:

<math>\begin{align}

  s_k &= \sum_{n=0}^k a_n \\
  (s_k) &= (1, 0, 1, 0, \ldots).
\end{align}</math>

סדרת הסכומים החלקיים לא מתכנסת, כך שהטור <math>G</math> מתבדר. אף על פי כן, <math>G</math> ניתן לסכימה במובן צ'זארו. תהי <math>(t_n)_{n=1}^\infty</math> סדרת הממוצעים החשבוניים של <math>n</math> הסכומים החלקיים הראשונים:

<math>\begin{align}

  t_n &= \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} s_k \\
  (t_n) &= \left(\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{2}{4}, \frac{3}{5}, \frac{3}{6}, \frac{4}{7}, \frac{4}{8}, \ldots\right)
\end{align}</math>

אז

<math>\lim_{n\to\infty} t_n = 1/2</math>,

ולפיכך, סכום צ'זארו של הטור <math>G</math> הוא 1/2.

דוגמה שנייה

כדוגמה אחרת, ניקח <math>a_n=n</math> בעבור <math>n \geq 1</math>. כלומר, <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> היא הסדרה

<math>(1, 2, 3, 4, \ldots)</math>.

נסמן כעת ב-<math>G</math> את הטור

<math>G = \sum_{n=1}^\infty a_n = 1+2+3+4+\cdots </math>

סדרת הסכומים החלקיים <math>(s_k)_{k=1}^\infty</math> היא

<math>(1, 3, 6, 10, \ldots)</math>.

מכיוון שסדרת הסכומים החלקיים גדלה עד לאינסוף, הטור <math>G</math> מתבדר. הסדרה <math>(t_n)</math> של ממוצעים של סכומים חלקיים של <math>G</math> היא:

<math>\left(\frac{1}{1}, \frac{4}{2}, \frac{10}{3}, \frac{20}{4}, \ldots\right)</math>.

הסדרה הזאת מתבדרת לאינסוף גם כן, כך ש-<math>G</math> אינו ניתן לסכימה לפי צ'זארו. למעשה, בעבור כל סדרה שמתבדרת לאינסוף (חיובי או שלילי), שיטת צ'זארו מובילה לסדרה שמתבדרת גם היא, ולפיכך סדרות כאלו אינן ניתנות לסכימה לפי צ'זארו. עם זאת, במידה ולסדרה המקורית כמה גבולות חלקיים, ייתכן שאחד הגבולות החלקיים יהיה אינסוף (חיובי או שלילי) ובכל זאת ניתן יהיה לסכום את הסדרה בשיטת צ'זארו.

סיכום צ'זארו מסדר <math>\alpha</math>

קובץ:Pm1234 means.svg

גרף הסכומים החלקיים של הטור <math>1-2+3-4+\cdots</math> כפונקציה של <math>n</math>.

ב-1890 הראה ארנסטו צ'זארו כי קיימת משפחה רחבה יותר של שיטות סכימה, אשר נקראו מאז <math>(\mathrm{C},\alpha)</math> בעבור <math>\alpha</math> שלם אי-שלילי. שיטות אלו מאפשרות לסכום גם טורים שאינם מתכנסים במובן שתואר מקודם. כדי להמחיש את הרעיון הכללי, נפתח בדוגמה. "נוכיח" שערך הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n-1}=1-2+3-4+\cdots</math> הוא <math>\frac{1}{4}</math>.

סדרת הסכומים החלקיים הראשונים של הטור הזה היא <math>1,-1,2,-2,3,-3,...</math>. מכאן נקבל שסדרת הממוצעים החשבוניים של <math>n</math> הסכומים החלקיים הראשונים של הטור היא <math>1,0,2/3,0,3/5,0,...</math>. כלומר הטור אינו מתכנס לפי סיכום צ'זארו מסדר ראשון. הערך ההגיוני ביותר לתת לטור עמו התחלנו הוא הממוצע של סדרת הממוצעים החשבוניים. נשים לב כי במקומות האי-זוגיים בסדרת הממוצעים החשבוניים מופיעה סדרה שגבולה קיים ושווה ל-1/2, בעוד שבמקומות האי-זוגיים מופיע תמיד 0. לפיכך הממוצע של סדרת הממוצעים החשבוניים תהיה שווה לחצי כפול הגבול של סדרת הממוצעים החשבוניים של סדרה שמתכנסת ל-1/2. על פי משפט שטולץ-צ'זארו, סדרת הממוצעים החשבוניים של סדרה שגבולה <math>L</math> מתכנסת גם היא ל-<math>L</math>, ולפיכך תמה ההוכחה שסכום הטור הוא 1/4.

המקרה הכללי

השיטה שתוארה בדוגמה האחרונה היא למעשה סיכום צ'זארו מסדר שני <math>(\mathrm{C},2)</math>. השיטה <math>(\mathrm{C},0)</math> היא סכימה רגילה, בעוד ש-<math>(\mathrm{C},1)</math> היא סיכום צ'זארו כפי שתואר בדוגמה הראשונה בערך. השיטות מסדר גבוה יותר מתקבלות מהפעלה חוזרת של סיכום צ'זארו, וניתנות לתיאור באופן הפורמלי הבא: בהינתן טור <math>\textstyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math>, נגדיר את הגדלים:

<math>\begin{align} A_n^{-1}&=a_n \\ A_n^\alpha&=\sum_{k=0}^n A_k^{\alpha-1} \end{align}</math>

ונגדיר את <math>E_n^{\alpha}</math> להיות <math>A_n^{\alpha}</math> בעבור הטור <math>1+0+0+0+\dots</math>. אז סכום <math>(\mathrm{C},\alpha)</math> של הטור <math>\textstyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> יסומן <math>(C,\alpha)\textrm{-}\sum a_n</math>, ויוגדר כ-:

<math>(\mathrm{C},\alpha)\text{-}\sum_{j=0}^\infty a_j=\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^\alpha}{E_n^\alpha}</math>

במידה והגבול קיים. אם <math>\alpha</math> שלם, תיאור זה מייצג למעשה <math>\alpha</math> איטרציות של שיטת הסכימה הבסיסית.

ראו גם

• טור המספרים הטבעיים