נקודת שבת
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פעולות נוספות
במתמטיקה, נקודת שֶׁבֶת של פונקציה היא נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה אשר תמונתה היא הנקודה עצמה, כלומר אם <math>f(x) </math> היא פונקציה אז הנקודה <math>x_0 </math> היא נקודת שבת אם מתקיים <math>f(x_0) = x_0 </math>.
דוגמאות עריכה
- עבור הפונקציה <math>f(x)=2x</math>, הערך <math>x=0</math>, הוא נקודת שבת (היחידה), הואיל ו- <math>f(0) = 2 \cdot 0 = 0</math> (וזהו הפתרון היחיד למשוואה <math> 2x = x </math>).
- נקודה שאינה משנה את מיקומה כתוצאה מטרנספורמציה מרחבית. לדוגמה: בסיבוב של כדור סביב צירו, הנקודות הנמצאות על הציר נותרות במקומן, והן נקודות שבת.
- נקודות שבת "מעניינות" של פונקציה הן כאלו שאם מפעילים את הפונקציה על ערך מסוים, אחר מפעילים אותה שוב על הערך שהתקבל וכן הלאה, הולכים ומתקרבים לנקודת השבת. בניסוח פורמלי: אם עבור בחירה של <math>x</math> הקרוב מספיק לנקודת השבת <math>x_0</math>, מתקיים <math>\lim_{n \to \infty} f^n(x) = x_0</math> (כאן <math>f^2(x)=f(f(x))</math> וכדומה). נקודת שבת כזו נקראת נקודת שבת יציבה.
משפטים הקשורים בנקודות שבת עריכה
- אם <math>f \colon [a,b] \to [a,b]</math> פונקציה רציפה אז יש לה נקודת שבת בקטע <math>[a,b]</math>.
- משפט ההעתקה המכווצת על הישר הממשי: תהי <math>f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>. אם קיים קבוע <math>K < 1</math> כך ש-<math>|f(x)-f(y)|<K|x-y|</math> לכל <math>x,y\in\mathbb R</math>, אזי יש ל-<math>f</math> נקודת שבת אחת ויחידה.
- הרחבה של המשפט הקודם למרחב מטרי שלם כלשהו: משפט נקודת השבת של בנך נותן תנאי מספיק כדי שלפונקציה תהיה נקודת שבת אחת ויחידה, ומאפשר למצוא אותה על ידי הפעלה חוזרת של הפונקציה כמתואר לעיל.
- הרחבה של המשפט הקודם לקבוצה קומפקטית וקמורה ב-<math>\mathbb{R}^n</math> הוא משפט נקודת השבת של בראואר, המוכיח קיום של נקודת שבת במצבים מסוימים, אך לא מראה דרך מעשית למצוא אותה.
- משפט נקודת השבת של קנסטר-טרסקי: לכל העתקה מונוטונית עולה מסריג שלם לעצמו יש נקודת שבת (משפט 1 במאמר משנת 1955 של טרסקי [1], שם, בעמוד השני למאמר, בהערת שוליים מספר 2, טרסקי מצטט מאמר של קנסטר [2] משנת 1928 בו הופיעה תוצאה מוקדמת יותר, שטרסקי טוען שהיא הושגה בשנת 1927 על ידו ועל ידי קנסטר).
- אם <math>f</math> פונקציה חד-חד-ערכית ועל ו-<math>x_0</math> נקודת שבת של <math>f</math>, אז היא גם נקודת שבת של <math>f^{-1}</math>.
- אם <math>x_0</math> נקודת שבת של <math>f</math> ושל <math>g</math>, אז היא גם נקודת שבת של <math>f\circ g</math>.
קישורים חיצוניים עריכה
הערות שוליים עריכה
- ^ Alfred Tarski, A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications, .Pacific J. Math 5, 1955, עמ' 285--309
- ^ B. Knaster, Un théorème sur les fonctions d’ensembles, .Ann. Soc. Polon. Math 6, 1928, עמ' 134--133
