משפט הקירוב של ויירשטראס

שגיאות פרמטריות בתבנית:משפט מתמטי
פרמטרים [ 1 ] לא מופיעים בהגדרת התבנית

משפט הקירוב של ויירשטראס

קירוב של פונקציית השורש באמצעות פולינום. קיום של קירוב כזה (טוב כרצוננו) הוא מקרה פרטי של משפט ויירשטרס המהווה נקודת מפתח בחלק מההוכחות של מהשפט.
קירוב של פונקציית השורש באמצעות פולינום. קיום של קירוב כזה (טוב כרצוננו) הוא מקרה פרטי של משפט ויירשטרס המהווה נקודת מפתח בחלק מההוכחות של מהשפט.
מידע כללי
ניסוח	פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום ניתנת לקירוב במידה-שווה על ידי פולינומים.
נוסחה	<math>\overline{\R[x]

_{L^\infty}=C([a,b])</math>

| שוער על ידי = | תאריך השערה = | הוכח על ידי = קארל ויירשטראס | תאריך הוכחה = 1885 | שקול ל = | מכליל את = | מחזק את = | הכללות = *משפט סטון-ויירשטראס

• משפט מונץ

| גרסאות חזקות יותר = | כלים בהוכחה = הוכחות שונות משתמשות בכלים שונים:

• טרנספורמציית ויירשטראס, פונקציית גאוס
• פונקציה ליניארית למקוטעין
• פולינום ברנשטיין

| משמש ב = *משפט סטון-ויירשטראס

• ספרביליות של מרחבי פונקציות על הישר

| השפעה = * אחת הדוגמאות הראשונות לקירוב במדה שווה }} משפט הקירוב של ויירשטראס הוא תוצאה יסודית בתורת הקירובים ובאנליזה פונקציונלית, הקובעת שכל פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום ניתנת לקירוב במידה-שווה על ידי פולינומים. במילים אחרות, המשפט קובע שתת-מרחב הפולינומים מהווה קבוצה צפופה במרחב הפונקציות הרציפות על קטע סגור וחסום.

משפט סטון-ויירשטראס מהווה הכללה חשובה של משפט זה.

המשפט

משפט הקירוב: לכל פונקציה רציפה מהצורה <math> f:[a,b] \to \mathbb{R} </math> עבור קטע ממשי <math> [a,b] </math> סגור וחסום, קיימת סדרת פולינומים על <math> [a,b] </math> המתכנסת אליה במידה-שווה.

פרספקטיבה אחרת בה ניתן לגשת למשפט זה, היא התייחסות למרחב הפולינומים כתת-מרחב של מרחב הפונקציות הרציפות. באופן כללי, בהינתן קטע ממשי סגור וחסום <math> [a,b] </math> כלשהו, מסמנים ב-<math> C([a,b]) </math> את מרחב הפונקציות הרציפות <math>\ f:[a,b] \to \mathbb{R} </math>, שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת <math>L</math>-אינסוף": <math> \| f \|_\infty = \sup_{x \in [a,b]}|f(x)| </math>. לא קשה לראות שסדרת פונקציות מתכנסת תחת נורמת <math>L</math>-אינסוף אם ורק אם היא מתכנסת במדה שווה. לפיכך הנוסח הבא שקול לחלוטין למשפט הקירוב בנוסח שהזכרנו:

נוסח שקול: מרחב הפולינומים על קטע ממשי <math> [a,b] </math> צפוף במרחב <math> C([a,b]) </math> תחת נורמת <math>L</math>-אינסוף.

מסקנה: המרחב <math>C([a,b])</math> הוא ספרבילי, כלומר יש בו קבוצה צפופה שהיא בת-מניה.

הוכחה: קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים הוא בן-מניה, וכן גם קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב הפולינומים במקדמים ממשיים. צפיפות היא תכונה טרנזיטיבית, ולכן מרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב <math>C([a,b])</math>.

השוואה עם טורי חזקות

סוג מסוים של קירוב פונקציה על ידי פולינומים מתקבל מהצגתה על ידי טור חזקות. זהו קירוב מיוחד שאינו אפשרי עבור רוב הפונקציות הרציפות. בעוד שבקירוב כללי, כל פולינום מקרב יכול להיות שוינה לחלוטין מקודמו, בקירוב שמקורו בטור חזקות אנחנו מוסיפים בכל שלב איברים לפולינום אבל לא משנים את האיברים הקיימים (זאת כאשר כותבים את הפולינום במשתנה <math>(x-a)</math> כאשר <math>a</math> היא הנקודה שביחס אליה מוגדר טור החזקות).

פונקציות הניתנות לקירוב על ידי טור חזקות בסביבת נקודה (הטור הוא ביחס לאותה הנקודה) נקראות פונקציות אנליטיות בנקודה זו. אולם, אפילו פונקציה אנליטית בכל הישר לא תמיד אפשר להציג על ידי טור חזקות בקטעים ארוכים. לדוגמה, לא ניתן להציג את הפונקציה <math>x\mapsto \frac{1}{1+x^2}</math> על ידי טור חזקות בקטע <math>[-2,2]</math>. פונקציות שניתן להציג כטור חזקות בכל קטע חסום נקראות פונקציות שלמות (או ליתר דיוק פונקציות שנתן להרחיב לפונקציות שלמות).

הוכחות

קיימות הוכחות שונות למשפט זה. נביא כאן מספר הוכחות

הוכחה באמצעות טרנספורמציית ויירשטראס וגרעין גאוס

הוכחה זו דומה להוכחה המקורית של ויירשטראס. רעיון ההוכחה הוא לקרב את פונקציית גאוס <math>f_\alpha</math> המוגדרת על ידי <math>f_\alpha(x) :=e^{-\alpha x^2}</math>, ואז לקרב כל פונקציה <math>f</math> על ידי טרנספורמציית ויירשטראס שלה <math>f_{n} * f</math>. כאן <math>*</math> מסמן את פעולת הקונבולוציה.

ברמה הטכנית יש להתמודד עם העובדה שקונבולציה מוגדרת עבור פונקציות על הישר, ולא עבור פונקציות על קטע. מדובר בקושי קטן למדי.

נציג את השלבים העיקריים בהוכחה:

1.	הוכחה: קל לראות שטור טיילור של הפונקציה <math>f_\alpha</math> מתכנס אליה במידה שווה בכל קטע חסום (למשל בעזרת צורת לגראנז' לשארית טור טיילור).  {{{2}}}
2.	כל פונקציה רציפה בקטע סגור חסום ניתנת להרחבה לפונקציה רציפה המוגדרת על הישר <math>\R</math> ומתאפסת מחוץ לקטע סגור חסום.  {{{2}}}
3.	{{{1}}}  {{{2}}} * f</math> מתכנסת ל-<math>f</math> במידה שווה. כאן <math>*</math> מסמן את פעולת הקונבולוציה.|הוכחה: תהי <math>f</math> פונקציה כזו. לפי משפט קנטור <math>f</math>. לכן, לכל <math>\epsilon</math> קיים <math>\delta</math> כך ש: <math>f</math> מעבירה נקודות <math>\delta</math>-קרובות לנקודות <math>\epsilon</math>-קרובות. נבחר <math>n</math> כך שהאינטגרל של <math>f_n</math> מחוץ לקטע <math>[-\delta,\delta]</math> זניח. נסמן ב - <math>g_n</math> את הפונקציה <math>f_n</math> מוכפלת בפונקציה אופינית של הקטע <math>[-\delta,\delta]</math>. נקבל כי: <math>h_n* f</math> קרובה מאוד (לפי נורמת <math>L^\infty</math>) ל - <math>\frac{g_{n}}{\int_{-\infty}^\infty g_n(x)dx} * f</math>. מאידך קל לראות ש: <math display="block">\left(\frac{g_{n}}{\int_{-\infty}^\infty g_n(x)dx} * f\right)(y)\leq \max_{z\in [y-\delta,y+\delta]}f(z)\leq f(y)+\epsilon </math> ובאופן דומה: <math display="block">\left(\frac{g_{n}}{\int_{-\infty}^\infty g_n(x)dx} * f\right)(y)\geq f(y)-\epsilon</math> זה מוכיח את הקירוב הנדרש. }}
4	הקונבולוציה של פולינום עם פונקציה רציפה <math>f</math> על הישר <math>\R</math> שמתאפסת מחוץ לקטע סגור חסום היא פולינום.  {{{2}}}
5.	כל פונקציה רציפה <math>f</math> על הישר <math>\R</math> המתאפסת מחוץ לקטע סגור חסום ניתנת לקירוב במידה שווה על קטע זה על ידי פולינומים.  הוכחה: בה"כ נניח כי <math>f</math> מתאפסת מחוץ לקטע <math>[-a,a]</math>. נשים לב שעבור כל פונקציה <math>g</math> הפונקציה <math>f*g
6.	כל פונקציה רציפה <math>f</math> על קטע סגור וחסום ניתנת לקירוב במידה שווה על ידי פולינומים.  הוכחה: נובע מהסעיף הקודם וסעיף 2

קירוב טילור של פונקציית גאוס קובץ:Taylor approximation of a Gaussian - 1.svg קובץ:Taylor approximation of a Gaussian - 2.svg קובץ:Taylor approximation of a Gaussian - 3.svg קובץ:Taylor approximation of a Gaussian - 4.svg קובץ:Taylor approximation of a Gaussian - 5.svg

הרחבה של פונקציה רציפה על קטע סגור לפונקציה רציפה על הישר המתאפסת מחוץ לקטע סגור פונקציה ליניארית למקוטעין מובעת באמצעות ערך מוחלט הרחבה של פונקציה רציפה על קטע סגור לפונקציה רציפה על הישר המתאפסת מחוץ לקטע סגור

קירוב של פונקציה רציפה המתאפסת מחוץ לקטע סגור על ידי קונבולוציות עם פונקציית גאוס קובץ:Convolution with Gaussian - 1.svg קובץ:Convolution with Gaussian - 2.svg קובץ:Convolution with Gaussian - 4.svg קובץ:Convolution with Gaussian - 8.svg קובץ:Convolution with Gaussian - 16.svg

הוכחה באמצעות פונקציות ליניאריות למקוטעין

רעיון ההוכחה הוא לקרב כל פונקציה באמצעות פונקציה רציפה ליניארית למקוטעין (זאת אומרת פונקציה שהגרף שלה הוא קו שבור), אותה ניתן להביע על ידי פונקציית הערך המוחלט. לבסוף מקרבים את פונקציית הערך המוחלט על ידי סדרה מפורשת של פולינומים. היתרונות של הוכחה זו הן האינטואיטיביות שלה, והעובדה שחלק המרעיונות בה משמשים להוכחה של משפט סטון-ויירשטראס - הכללה של משפט הקירוב של ויירשטראס.

נציג את השלבים העיקריים בהוכחה:

1.	הפונקציה <math>x\mapsto \sqrt{x}</math> ניתנת לקירוב במידה שווה על ידי פולינומים בקטע <math>[0,\tfrac{1}{2}]</math>.  {{{2}}} {f_{n}-\sqrt{x}}=1-(f_n+\sqrt{x})</math>. מכאן קל להסיק באינדוקציה שבקטע <math>[0,\tfrac 12]</math> מתקיים <math>0\leq f_n(x)\leq \sqrt{x}</math> ושבכל קטע סגור המוכל בקטע <math>(0,\frac 12]</math> הסדרה <math>f_n</math> מתכנסת במדה שווה לפונקציה <math>x\mapsto \sqrt{x}</math>. מכאן קל להסיק את הנדרש. הערה 1: למעשה הסדרה <math>f_n</math> מתכנסת במדה שווה לפונקציה <math>x\mapsto \sqrt{x}</math> בקטע <math>[0,1]</math> אולם אין צורך להראות זאת עבור המשך ההוכחה. מחוץ לקטע <math>[0,1]</math> היא לא מתכנסת, ומראה התנהגות מורכבת הנתונה על ידי מערכת דינמית הנתונה על ידי פולינום ריבועי הערה 2: אפשר לראות בסדרה <math>f_n</math> אלגוריתם איטרטיבי לפתרון המשוואה <math>y^2=x</math> כאשר <math>y</math> הוא הנעלם. בכל שלב אנחנו מתקנים את <math>y</math> על ידי כך שאנחנו מוסיפים לו את הטעות במשוואה: <math>x-y^2</math>. אלגוריתם זה שונה מאלגריתמים סטנדרטיים לפתרון איטרטיבי של משוואות (כגון שיטת ניוטון-רפסון) ובדרך כלל פחות טוב מהם. זאת מכיוון שהוא מניח, נאיבית, שהתיקון לפתרון צריך להיות השגיאה במשוואה, ולא משהו מורכב יותר שתלוי בשגיאה זו. האלגוריתם הזה מתאים למטרות שלנו כי בשל הפשטות שלו, אם השלב הראשון הוא פולינום אז כך גם שאר השלבים. זאת בשונה מאלגוריתמים סטנדרטיים כמו ניוטון-רפסון. למרות שהוא פחות יציב מאלגוריתמים אחרים, הוא עדיין מתכנס לפתרון המשוואה אם מתחילם מספיק קרוב לפתרון. זאת מהסיבות הבאות: פתורן המשוואה הוא נקודת שבת של האלגוריתם - אם אנחנו כבר בפתרון אז התיקון הוא - 0 פתורן המשוואה הוא נקודת שבת יציבה של האלגוריתם - אם אנחנו ליד הפתרון אז התיקון הוא לכיון הנכון. בהתאם, זה צפוי שעבור <math>x</math> קטן, כאשר הניחוש ההתחלתי 0 קרוב לפתרון, האלגוריתם יתכנס. כך גם סביר שהוא יפסיק להתכנס לערכים גבוהים של <math>x</math>, כמו שקורא בפועל. }}
2.	הפונקציה <math>x\mapsto \sqrt{x}</math> ניתנת לקירוב במידה שווה על ידי פולינומים בקטע <math>[0,a]</math> עבור כל מספר חיובי <math>a</math>.  {{{2}}} </math>}}
3.	הפונקציה <math>x\mapsto   x
4.	הפונקציה <math>x\mapsto   x-a
5.	כל פונקציה רציפה ליניארית למקוטעין ניתנת לקירוב במידה שווה על ידי פולינומים בכל קטע סגור וחסום.  הוכחה: נובע מהשלב הקודם מכיוון שכל פונקציה רציפה ליניארית למקוטעין על קטע סגור חסום היא קומבינציה ליניארית של פונקציה ליניארית ופונקציות מהסוג <math>x\mapsto
6.	כל פונקציה רציפה ניתנת לקירוב במידה שווה על ידי פולינומים בכל קטע סגור וחסום.  הוכחה: נובע מהשלב הקודם ומכך שכל פונקציה רציפה ניתנת לקירוב במידה שווה, בכל קטע סגור וחסום, על ידי פונקציה רציפה ליניארית למקוטעין.

קירוב הפונקציה <math>x \mapsto \sqrt x</math> בקטע <math>[0,1]</math> על ידי פולינומים קובץ:Weierstrass iter01 sqrt x.svg קובץ:Weierstrass iter02 sqrt x.svg קובץ:Weierstrass iter03 sqrt x.svg קובץ:Weierstrass iter04 sqrt x.svg קובץ:Weierstrass iter05 sqrt x.svg	קירוב הפונקציה <math>x \mapsto |x|</math> בקטע <math>[-1,1]</math> על ידי פולינומים קובץ:Weierstrass iter01 abs x.svg קובץ:Weierstrass iter02 abs x.svg קובץ:Weierstrass iter03 abs x.svg קובץ:Weierstrass iter04 abs x.svg קובץ:Weierstrass iter05 abs x.svg	פונקציה ליניארית למקוטעין מובעת באמצעות ערך מוחלט פונקציה ליניארית למקוטעין מובעת באמצעות ערך מוחלט פונקציה ליניארית למקוטעין מובעת באמצעות ערך מוחלט
הצגה של פונקציה ליניארית למקוטעין כסכום של פונקציות פשוטות יותר קובץ:Decomposition of PL function 1.svg קובץ:Decomposition of PL function 2.svg קובץ:Decomposition of PL function 3.svg קובץ:Decomposition of PL function 4.svg קובץ:Decomposition of PL function 5.svg	קירוב של פונקציה רציפה על ידי פונקציה (רציפה) ליניארית למקוטעין קובץ:Approx with Pl 1seg.svg קובץ:Approx with Pl 2seg.svg קובץ:Approx with Pl 4seg.svg קובץ:Approx with Pl 8seg.svg קובץ:Approx with Pl 16seg.svg קובץ:Approx with Pl 32seg.svg

הערה: ההוכחות המקובלות של משפט סטון-ויירשטראס מבוססות על התוצאה של שלב 3.

הוכחה באמצעות פולינומי ברנשטיין

זו הוכחה של המתמטיקאי סרגיי ברנשטיין. היתרון שלה שהיא נותנת נוסחה פשוטה ומפורשת לפולינום המקרב.

רעיון ההוכחה

ההוכחה לא דורשת כלים מתורת ההסתברות, אולם קל יותר להבין את הרציונל מאחוריה מנקודת מבט של תורת ההסתברות. בהינתן מספר טבעי <math>n</math>, מספר ממשי <math>x\in [0,1]</math> ומטבע שנופל על עץ בהסתבורת <math>x</math>, משתנה בינומי <math> \alpha_x\sim Bin(n,x)</math> הוא משתנה מקרי שערכו הוא מספר הנפילות של המטבע על עץ לאחר <math>n</math> הטלות. נתבונן כעת במשתנה <math>\beta_x=\frac{\alpha_x}{n}</math>. אינטואיטיבית ברור שאם <math>n</math> גדול מאוד אז ערכו של <math>\beta_x</math> יהיה קרוב מאוד ל - <math>x</math> בהסתברות גבוהה מאוד. בהינתן פונקציה רציפה <math> f:[0,1] \to \mathbb{R} </math> נתבונן במשתנה <math>\gamma_x=f(\beta_x)</math>. אינטואיטיבית הגיוני שאם <math>n</math> גדול מאוד אז ערכו של <math>\gamma_x</math> יהיה קרוב מאוד ל - <math>f(x)</math> בהסתברות גבוהה מאוד. נסמן ב - <math>g(x)</math> את התוחלת של <math>\gamma_x</math>. אינטואיטיבית הגיוני שאם <math>n</math> גדול מאוד אז <math>g(x)</math> קרוב מאוד ל - <math>f(x)</math>. מאידך, קל לראות ש - <math>g(x)</math> הוא פולינום ב - <math>x</math>. כך קיבלנו קירוב טוב כרצוננו ל - <math>f(x)</math> על ידי הפולינום <math>g(x)</math>.

פולינפמי הבסיס של ברנשטיין ותכונתיהם

פולינומי בסיס של ברנשטיין הם פולינומים מהצורה <math> p_k(x,n) = {n \choose k}x^k(1-x)^{n-k} </math>. קל לראות מהבינום של ניוטון שמתקיים השוויון:

<math id="eq1"> \sum_{k=0}^n p_k(x,n) = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k(1-x)^{n-k} = (x+(1-x))^n = 1 </math>

תכונה נוספת של הפולינומים האלה, היא שלכל <math> 0<\delta </math> מתקיים אי השוויון:

<math id="eq2"> \sum_{|{k \over n}-x| \geq \delta} p_k(x,n) \leq {1 \over n \delta^2} </math>.

מנקודת מבט הסתברותית:

• הפולינום <math> p_k(x,n) </math> הוא ההסתברות שערכו של המשתנה הבינומי <math>\alpha_x</math> יהיה <math>k</math>
• השווין הראשון אומר שההסתברות שערכו של <math>\alpha_x</math> יהיה מספר כלשהו מ-<math>0</math> עד <math>n</math> היא <math>1</math>.
• האי-שוויון האחרון אומר שההסתברות שערכו של <math>\frac{\alpha_x}{n}</math> יהיה רחוק מ - <math>\frac kn</math> היא קטנה.

ההוכחה

נראה שבהינתן פונקציה רציפה <math> f:[0,1] \to \mathbb{R} </math>, לכל <math> 0 < \epsilon </math> קיים פולינום <math> g </math> מתאים כך שמתקיים <math> \sup_{x \in [0,1]}|f(x)-g(x)| < \epsilon </math>.

אם כך, בהינתן פונקציה <math> f </math> כנ"ל נגדיר לכל <math>n</math> טבעי את הפולינום <math> B_n(x) = \sum_{k=0}^n f\left( \frac{k}{n} \right)p_k(x,n) </math>. מנקודת מבט הסתברותית זוהי התוכלת של <math>f\left(\frac{\alpha_x}{n}\right)</math>. נקבע <math> 0 < \epsilon </math>, ונראה שלכל <math>n</math> מספיק גדול מתקיים כי <math> \sup_{x \in [0,1]}|f(x)-B_n(x)| < \epsilon </math>.

נזכור שהפונקציה <math> f </math> רציפה בקטע סגור וחסום ולכן היא חסומה בו על ידי <math> M \in \mathbb{R} </math> כלשהו. מאותה עובדה נובע גם כי היא רציפה במידה שווה בקטע, לכן, קיים <math> 0 < \delta </math> כך שלכל <math> x,y \in [0,1] </math> אם <math> |x-y| < \delta </math> אז <math> |f(x)-f(y)| < { \epsilon \over 2} </math>. כעת עבור <math>\frac{4M}{\delta^2\epsilon}<n</math> ועבור כל <math> x \in [0,1] </math> מתקיים: <math display="block">\begin{align} |B_n(x)-f(x)| &=\left|\sum_{k=0}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right)p_k(x,n)-f(x)\right|\\ &=\left|\sum_{k=0}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right)p_k(x,n)-f(x)\sum_{k=0}^n p_k(x,n)\right|\\ &=\left|\sum_{k=0}^n\left(f\!\left(\frac{k}{n}\right)-f(x)\right )\,p_k(x,n)\right|\\ &\le \sum_{k=0}^n \left|f\!\left(\frac{k}{n}\right)-f(x)\right|\,p_k(x,n)\\ &=\sum_{\left|\frac{k}{n}-x\right|<\delta}\left|f\!\left(\frac{k}{n}\right)-f(x)\right|\,p_k(x,n)

+\sum_{\left|\frac{k}{n}-x\right|\ge\delta}\left|f\!\left(\frac{k}{n}\right)-f(x)\right|\,p_k(x,n)\\

&<\sum_{\left|\frac{k}{n}-x\right|<\delta}\frac{\epsilon}{2}\,p_k(x,n)+2M\cdot\frac{1}{n\delta^2}\\ & \le \frac{\epsilon}{2}\sum_{k=0}^n p_k(x,n)+2M\cdot\frac{1}{n\delta^2}\\ & =\frac{\epsilon}{2}+2M\cdot\frac{1}{n\delta^2}\\ &<\frac{\epsilon}{2}+2M\cdot\frac{1}{\frac{4M}{\delta^2 \epsilon}\delta^2}=\epsilon. \end{align} </math> כפי שנדרש.

הוכחה באמצעות משפט פייר

רעיון ההוכחה הוא לקרב כל פולינום טריגונומטרי באמצעות פולינום ואז לקרב פונקציות רציפות באמצעות פולינומים טריגונומטריים לפי משפט פייר ההוכחה מעט אנכרוניסטית, כיוון שמשפט פייר הוכח אחרי משפט הקירוב של ויירשטראס והשתמש ברעיונות דומים, אולם לא מדובר בהוכחה מעגלית, ולפעמים יש לה יתרונות אקספוזיציוניים (למשל בספרי לימוד בהם מלמדים את תורת פורייה לפני משפט הקירוב של ויירשטראס).

נציג את השלבים העיקריים בהוכחה:

1.	עבור כל <math>n\in \N</math>, ניתן, בכל קטע סגור וחסום, לקרב, במידה שווה, את הפונקציות <math>x\mapsto \sin(nx)</math> ו-<math>x\mapsto \cos(nx)</math> באמצעות פולינומים.  הוכחה: קל לראות שטור טיילור של כל אחת מפונקציות אלה מתכנס אליה במידה שווה בכל קטע חסום (למשל בעזרת צורת לגראנז' לשארית טור טיילור).
2.	ניתן להרחיב פונקציה רציפה על קטע סגור קצר מ-<math>2\pi</math> לפונקציה רציפה על הישר בעלת מחזור <math>2\pi</math>.  הוכחה: באמצעות אינטרפולציה ליניארית, ניתן להרחיב את הפונקציה לפונקציה רציפה על קטע סגור באורך <math>2\pi</math> שהיא בעלת אותו הערך בשני קצוות הקטע. פונקציה כזו קל להרחיב (באופן יחיד) לפונקציה רציפה על הישר בעלת מחזור <math>2\pi</math>.
3.	ניתן לקרב כל פונקציה רציפה על הישר בעלת מחזור <math>2\pi</math> על ידי פולינומים טריגונומטריים במידה שווה על כל הישר.  הוכחה: זו מסקנה מיידית ממשפט פייר.
4.	ניתן לקרב צימצום של כל פונקציה רציפה על הישר בעלת מחזור <math>2\pi</math> לכל קטע סגור חסום על ידי פולינומים  הוכחה: נובע מיידית משלבים 1,3
5.	ניתן לקרב במידה שווה כל פונקציה רציפה על קטע סגור קצר מ-<math>2\pi</math> באמצעות פולינומים.  הוכחה: נובע מיידית משלבים 4,2
6.	ניתן לקרב במידה שווה כל פונקציה רציפה על קטע סגור וחסום.  הוכחה: נובע מיידית מהשלב הקודם

היסטוריה

קרל ויירשטראס - הוכיח את המשפט בשנת 1885

{{{ביאורי תמונה}}}

קובץ:Karl Weierstrass.jpg

קרל ויירשטראס - הוכיח את המשפט בשנת 1885

• בשנת 1885 הוכיח קרל ויירשטראס את המשפט, ופרסם אותו בגרמנית ובאנגלית.
• בשנים 1937–1948 הכליל מרשל סטון את משפט ויירשטראס. הכללה זו נקראת משפט סטון-ויירשטראס.

קישורים חיצוניים

• משפט הקירוב של ויירשטראס, באתר MathWorld (באנגלית)