יחסי גרין

יחסי גרין הם יחסי שקילות בסיסיים המוגדרים בחבורה למחצה, ומארגנים את המבנה שלה סביב תת-החבורות המקסימליות. את היחסים הגדיר סנדי גרין (1926-2014).

הגדרה

תהי <math>S</math> חבורה למחצה, ויהי <math>S^1</math> המונואיד המתקבל מצירוף איבר יחידה ל-<math>S</math>. יחסי גרין הם חמישה יחסי שקילות המוגדרים על <math>S</math>:

• <math>aJb</math> אם <math>a,b</math> יוצרים את אותו אידיאל דו-צדדי, כלומר <math>S^1aS^1=S^1bS^1</math>.
• <math>aLb</math> אם <math>a,b</math> יוצרים את אותו אידיאל שמאלי, כלומר <math>S^1a=S^1b</math>.
• <math>aRb</math> אם <math>a,b</math> יוצרים את אותו אידיאל ימני, כלומר <math>aS^1=bS^1</math>.
• <math>aHb</math> אם <math>aLb</math> וגם <math>aRb</math>.
• יחס <math>D</math> הוא יחס השקילות הקטן ביותר שמכיל את היחסים <math>R,L</math>.

תכונות עיקריות

נאמר "מחלקת-<math>J</math>" במקום "מחלקת שקילות לפי <math>J</math>", וכדומה. היחס <math>H</math> הוא העדין ביותר: כל מחלקת-<math>J</math> היא איחוד של מחלקות <math>D</math>. כל מחלקת <math>D</math> היא איחוד של מחלקות-<math>L</math> ואיחוד של מחלקות-<math>R</math>, וכל אחת מאלו היא איחוד של מחלקות-<math>H</math>.

בין מחלקות-<math>J</math> מוגדר יחס סדר (<math>[a]<[b]</math> אם <math>S^1aS^1</math> מוכל ב-<math>S^1bS^1</math>).

מתקיים <math>D = L \circ R = R \circ L</math>. תכונה זו מאפשרת פירוק של כל מחלקת-<math>D</math> ל"תבנית ביצים", כך ששני איברים נמצאים באותה שורה אם הם שקולים-<math>R</math>, באותה עמודה אם הם שקולים-<math>L</math>, ובאותה תיבה אם הם שקולים-<math>H</math>.

איבר <math>a</math> הוא רגולרי אם קיים <math>b</math> כך ש-<math>aba=a</math> ו-<math>bab=b</math>; במקרה זה <math>b</math> הוא הפכי של <math>a</math> (למעשה, מספיק לדרוש קיום <math>b</math> כך ש <math>aba=a</math> כדי להבטיח ש <math>a</math> רגולרי, מפני ש <math>b^\prime=bab</math> יהיה הופכי מתאים). אם מחלקת-<math>D</math> מכילה איבר רגולרי, אז כל האיברים במחלקה הם רגולריים, וכל ההפכיים שלהם שייכים לאותה מחלקה.

תת-החבורות המקסימליות של <math>S</math> הן מחלקות-<math>H</math> הכוללות אידמפוטנט. אם שתי תת-חבורות מקסימליות נמצאות באותה מחלקת-<math>D</math>, אז הן איזומורפיות; מחלקת-<math>D</math> מכילה תת-חבורה מקסימלית אם ורק אם היא רגולרית.

אם <math>S</math> סופית אז מתקיים <math>D=J</math>. במקרה זה יש התאמה חד-חד-ערכית ועל בין ההצגות האי-פריקות של <math>S</math>, לבין הזוגות <math>(J,f)</math> כאשר <math>J</math> היא מחלקת-<math>J</math> רגולרית ו-<math>f</math> היא הצגה אי-פריקה של תת-החבורה המקסימלית המוכלת בה (שהיא יחידה עד כדי איזומורפיזם).