הרכבת פונקציות
פעולות נוספות
במתמטיקה, ההרכבה של פונקציות היא פונקציה המתקבלת מהפעלת פונקציות בזו אחר זו. הפעולה מסומנת ע"י: o .
ובאופן פורמלי: בהינתן קבוצות <math>X,Y,Z</math>, אם <math>f</math> פונקציה מ-<math>X</math> ל-<math>Y</math> ו-<math>g</math> פונקציה מ-<math>Y</math> ל-<math>Z</math>, אז ההרכבה <math>g \circ f</math> (בסדר זה, קרי: <math>g</math> מורכבת על <math>f</math>) היא הפונקציה מ-<math>X</math> ל-<math>Z</math> המוגדרת לפי <math>\ (g \circ f)(x) = g(f(x))</math>. ההרכבה מוגדרת בתנאי שהתמונה של הפונקציה הראשונה (<math>f</math>) מוכלת בתחום של הפונקציה השנייה (<math>g</math>).
כלומר, הערך של <math>g \circ f</math> מתקבל על ידי החלת הפונקציה <math>f</math> על <math>x</math> כדי לקבל
<math>y=f(x)</math>, ואז החלת הפונקציה <math>g</math> על התוצאה <math>y</math> כדי לקבל <math>g(y) = g(f(x))</math>.
תכונות עריכה
התכונה החשובה ביותר של הרכבת פונקציות היא האסוציאטיביות של הפעולה: אם אפשר להרכיב את <math>h</math> על <math>g</math> ואת <math>g</math> על <math>f</math>, אז <math>h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f</math>. בזכות תכונה זו, והעובדה שלמערכות של פונקציות יש תפקיד מרכזי כל-כך במתמטיקה, מרבית הפעולות במבנים אלגבריים, ובראשם החבורות, הם אסוציאטיביים. לדוגמה, אוסף כל הפונקציות מקבוצה <math>X</math> לעצמה הוא מונויד. פונקציה <math>f \colon X \to Y</math> שהיא פונקציה חד-חד-ערכית ועל היא הפיכה: קיימת <math>g \colon Y \to X</math> כך ש-<math>g \circ f = \operatorname{id}_X</math> וגם <math>f \circ g = \operatorname{id}_Y</math> (דהיינו, ההרכבה <math>g \circ f</math> היא פונקציית הזהות על <math>X</math>, ובנוסף ההרכבה <math>f \circ g</math> היא פונקציית הזהות על <math>Y</math>). למעשה, אם קיימת פונקציה <math>g</math> שכזו היא יחידה, ולכן מכונה "הפונקציה ההופכית של <math>f</math>" ולרוב מסומנת ב-<math>f^{-1}</math>.
הרכבה של פונקציות ממשיות עריכה
הרוב המכריע של הפונקציות המופיעות בחישובים מדעיים מתקבלות כהרכבות של פונקציות יסודיות; הרכבות כאלה נקראות פונקציות אלמנטריות. למשל, הפונקציה <math>\ f(x) = e^{\sin(x^2)}</math> היא ההרכבה <math>f = \mathord{\exp} \circ \mathord{\sin} \circ s</math> כאשר <math>s(x) = x^2</math> ו-<math>\exp(x) = e^x</math>.
ניתן לדון גם בגבול של הרכבת פונקציות ממשיות: אם <math>f</math> ו-<math>g</math> פונקציות שעבורן <math>\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=y_0</math> וכן גם קיים הגבול <math>\lim_{y\rightarrow y_0} g(y)=L</math> (עבור <math>x_0,y_0</math> כלשהם), אז הגבול של הרכבת הפונקציות <math>g \circ f</math> כאשר <math>x \to x_0</math> קיים ושווה ל-<math>\lim_{x\rightarrow x_0} (g\circ f)(x) = \lim_{y\rightarrow y_0} g(y) = L</math>. אם מתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים, אז גם <math>g\left(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)\right)=L</math> מתקיים: <math>g</math> רציפה ב-<math>y_0</math> (כלומר <math>L = g(y_0)</math>) או שקיימת סביבה מנוקבת של <math>x_0</math> שבה <math>f(x) \neq y_0</math>. שני תנאים אלו מספיקים אך לא הכרחיים.
כלל השרשרת קובע את הנגזרת של הרכבת פונקציות, באופן התלוי בנגזרות של המרכיבים.
קישורים חיצוניים עריכה
- הרכבת פונקציות, באתר MathWorld (באנגלית)