הלמה של פקטה

במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, הלמה של פקטה היא למה העוסקת בגבול של סדרות תת-חיבוריות. הלמה מספקת הערכה לקצב הגידול הליניארי של סדרות מסוג זה.

הלמה נקראת על-שם המתמטיקאי ההונגרי-ישראלי מיכאל פקטה שהוכיח אותה בשנת 1923.

נוסח המשפט

בערך זה נסמן ב-<math>\N</math> את קבוצת המספרים הטבעיים. קבוצה זו לא תכלול את המספר 0.

סדרה של מספרים ממשיים <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty</math> תקרא סדרה תת-חיבורית אם ורק אם לכל <math>m,n\in\N</math> מתקיים ש:

<math>a_{n+m}\le a_n+a_m</math>

הלמה של פקטה קובעת שלכל סדרה תת-חיבורית מתקיים ש:

<math>\lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}</math>

כלומר, הסדרה <math>\frac{a_n}{n}</math> שואפת לאינפימום שלה. יש לשים לב שאינפימום זה יכול להיות <math>-\infty</math>.

הוכחה

כדי להוכיח שהגבול קיים ומתכנס לאינפימום, מספיק להוכיח כי:

<math>\inf_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}\le \liminf_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}} \le \limsup_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}} \le \inf_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}</math>

כאשר <math>\liminf</math> ו-<math>\limsup</math> הם הגבול התחתון והגבול העליון בהתאמה. שני אי-השוויונות השמאליים נכונים תמיד, לכן יש להוכיח אך ורק את אי-השוויון הימני <math>\limsup_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}} \le \inf_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}</math>.

משום שהסדרה תת-חיבורית, אפשר להוכיח באינדוקציה שלכל <math>m,n,l,k\in\N</math> מתקיים ש:

<math>a_{nl+mk}\le na_l+ma_k</math>

מגדירים <math>a_0=0</math> ואז נוסחה זו נכונה גם כאשר אחד מהרכיבים <math>m,n,l,k</math> הוא 0 ובפרט <math>a_{n\ell} \le n a_\ell</math>.

כעת, מקבעים <math>q\in\N</math> כלשהו. לכל <math>n\in\N</math> קיימים <math>m\in\N</math> ו-<math>0\le r\le q-1</math> כך ש-<math>n=mq+r</math>. לכן, לפי אי-השוויון לעיל:

<math>a_n\le ma_q+a_r</math>

מגדירים <math>C_q=\max(a_0,a_1,\dots,a_{q-1})</math>. ערך זה תמיד מוגדר היטב מכיוון שזהו מקסימום של קבוצה סופית. מחלקים את אי-השוויון לעיל ב-<math>n</math> ומקבלים:

<math>\frac{a_n}{n}\le \frac{ma_q+a_r}{n}=\frac{ma_q}{n}+\frac{a_r}{n}\le \frac{ma_q}{mq}+\frac{C_q}{n}=\frac{a_q}{q}+\frac{C_q}{n}</math>

משאיפים את <math>n\to\infty</math> ומקבלים ש-<math>\limsup_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}} \le \frac{a_q}{q}</math>. מאחר ש-<math>q</math> נבחר שרירותית, הדבר נכון לכל <math>q</math>, משמע <math>\limsup_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}} \le \inf_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}</math>.

מכל זה <math>\lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}</math>.

מ.ש.ל.

דוגמאות

שורש ריבועי

מגדירים סדרה <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty</math> כך שלכל <math>n\in\N</math>:

<math>a_n:=n+\sqrt{n}</math>

אפשר להוכיח כי הסדרה תת-חיבורית, זאת מכיוון שלכל <math>n,m\in\N</math>:

<math>a_{n+m}=n+m+\sqrt{n+m}\le n+m+\sqrt{n} +\sqrt{m}=a_n+a_m</math>

ואכן:

<math>\lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{n+\sqrt{n}}{n}}=1</math>

ערך שלם

יהי <math>0<c\in\R</math> כלשהו. מגדירים סדרה <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty</math> כך שלכל <math>n\in\N</math>:

<math>a_n:=\lceil cn\rceil</math>

כאשר <math>\lceil\cdot\rceil</math> היא פונקציית התקרה. אפשר להוכיח כי הסדרה תת-חיבורית, זאת מכיוון שלכל <math>n,m\in\N</math>:

<math>a_{n+m}=\lceil c(n+m)\rceil=\lceil cn+cm\rceil\le \lceil cn\rceil + \lceil cm\rceil=a_n+a_m</math>

ואכן:

<math>\lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{\lceil cn\rceil}{n}}=c</math>

מסקנות

סדרות על-חיבוריות

סדרה של מספרים ממשיים <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty</math> תקרא סדרה על-חיבורית אם ורק אם לכל <math>m,n\in\N</math> מתקיים ש:

<math>a_{n+m}\ge a_n+a_m</math>

באמצעות הלמה של פקטה אפשר להוכיח כי לכל סדרה על-חיבורית מתקיים ש:

<math>\lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}}=\sup_{n\in\N}{\frac{a_n}{n}}</math>

כלומר, הסדרה <math>\frac{a_n}{n}</math> שואפת לסופרמום שלה. בדומה למקרה התת-חיבורי, סופרמום זה יכול להיות <math>\infty</math>.

הוכחת מסקנה זו מתבצעת על-ידי השימוש בלמה של פקטה על הסדרה <math>b_n:=-a_n</math>.

סדרות תת-כפליות

סדרה של מספרים ממשיים <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty</math> תקרא סדרה תת-כפלית אם ורק אם לכל <math>m,n\in\N</math> מתקיים ש:

<math>a_{n+m}\le a_na_m</math>

באמצעות הלמה של פקטה אפשר להוכיח כי לכל סדרה תת-כפלית שאיבריה חיוביים מתקיים ש:

<math>\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{a_n}}=\inf_{n\in\N}{\sqrt[n]{a_n}}</math>

הוכחת מסקנה זו מתבצעת על-ידי שימוש בלמה של פקטה על הסדרה <math>b_n:=\ln a_n</math> כאשר <math>\ln</math> היא פונקציית הלוגריתם הטבעי.

יש לשים לב שבגלל שהלמה של פקטה לסדרות תת-כפליות עוסקת בסדרות חיוביות, האינפימום בהכרח סופי והוא גדול או שווה ל-0. לעובדה זו ישנם שימושים משמעותיים, למשל:

• לכל טור חזקות שהערכים המוחלטים של המקדמים שלו מהווים סדרה תת-כפלית יש רדיוס התכנסות גדול מ-0 (משפט קושי-אדמר)
• לכל סריג קיים קבוע קשירות (Connective constant) המצביע על קצב הגידול של מספר ההילוכים הנמנעים-עצמיים (Self-avoiding walk) האפשריים.

סדרה כמעט תת-חיבורית

תהי סדרה של מספרים ממשיים <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty</math> שעבורה קיים <math>C\in\R</math> כך לכל <math>m,n\in\N</math> מתקיים ש:

<math>a_{n+m}\le a_n+a_m + C</math>

סדרה זו תקרה סדרה כמעט תת-חיבורית. אזי, מתקיים ש:

<math>\lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{a_n + C}{n}}</math>

הוכחה

מגדירים סדרה חדשה <math>b_n:=a_n+C</math>. ניתן להוכיח כי היא תת-חיבורית:

<math>b_{n+m}=a_{n+m}+C\le a_n+a_m + C + C=b_n+b_m</math>

לכן:

<math>\lim_{n\to\infty}{\frac{b_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{b_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{a_n + C}{n}}</math>

ומצד שני <math>\left|\frac{b_n}{n}-\frac{a_n}{n}\right|=\frac{C}{n}\to 0</math>, משמע שהגבול של שתי הסדרות הללו זהה. לכן:

<math>\lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}}=\inf_{n\in\N}{\frac{a_n + C}{n}}</math>

מ.ש.ל.