היסטוריה של הסימון המתמטי
פעולות נוספות
ההיסטוריה של הסימון המתמטי עוקבת אחר השימוש הראשוני בסימון המתימטי, התפתחותו והפצתו בקרב תרבויות שונות. הסימון המתמטי נועד ליצור שפה בינלאומית תמציתית, שאינה תלויה בשפה טבעית, המאפשרת תיאור ופתרון בעיות מתמטיות מורכבות בכל תחומי המדע, הטכנולוגיה וההנדסה. שפה זאת נכתבת ונקראת משמאל לימין.
התפתחות הסימון המתימטי עריכה
.png){kind=link}
הסימון המתימטי התפתח בשלושה שלבים:
האלגברה הרטורים פותחה לראשונה על ידי הבבלים הקדומים והייתה דומיננטית עד המאה ה-16. ספרו של מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי " חיסאב אל-ג'אבר ואל-מוקאבלה" (אנ') משנת 830 מציג הסברים מילוליים לאופן הפתרון של משוואות מדרגות שונות ולבעיות בסיסיות נוספות באלגברה.
- השלב הסינקופי – כאשר כמויות ופעולות שכיחות מיוצגות על ידי קיצורים תחביריים סימבוליים כגון היארוגליפים, ספרות או אותיות בשילוב עם תיאורים מילוליים.
המצרים העתיקים השתמשו בהיארוגליף שסימן רגליים הולכות קדימה 𓂻 לציון חיבור ובהיארוגליף שסימן רגליים הולכות אחורה 𓂽 לציון חיסור.
דיופנטוס מאלכסנדריה (200-284 לפנה"ס) השתמש בספרו אריתמטיקה בסימון מקוצר פרי המצאתו עבור פעולות חשבוניות שכיחות ועבור נעלמים וחזקות של נעלמים. לדוגמה: <math>\Kappa^{\upsilon}</math>, שסימן חזקה שלישית, נגזר מהמילה κύβος שפירושה ביוונית קובייה. ἴσ שסימן "שווה", נגזר מהמילה היוונית ἴσος שפירושה "שווה".[3][4]
עיקר המאמצים בשלבים אלה הופנו לגיבוש שיטה לייצוג כמויות, ללא הגבלת גודל, אשר תאפשר ביצוע פשוט של כל פעולות החשבון.
- שלב הסמלים – שלב הופעת "שפה מתמטית מוסכמת" המחליפה את התיאור המילולי של פתרון בעיות מתמטיות. שלב זה, שהתחיל בימי הביניים בהודו ובמחצית המאה ה-16 באירופה, ממשיך עד ימינו אנו.[5]
סמלים המייצגים כמות עריכה
אוסף לוחות חמר בכתב יתדות שנוצרו על ידי התרבות השומרית והבבלית מעיד על כך שתרבויות אלה השתמשו בלוחות כפל וחילוק ושבתקופה שבין 1600-1800 לפנה"ס הם הכירו כבר שברים, אלגברה, משוואות ליניאריות עד משוואות ממעלה רביעית, מספרים הופכיים ומספרים ראשוניים תאומים.[6]
בשלב הראשון כמויות מאחד עד תשע נרשמו באמצעות קווים אנכיים או באמצעות צירוף של קווים אנכיים וסימונים מיוחדים כמו בתרבות הפיניקית, הירוגליפים כמו בתרבות המצרית העתיקה, או לוגוגרמות כמו בתרבות הסינית. בהמשך נבחרו אותיות מתוך האלפבית לסימון כל עשירייה מעשר עד תשעים וכל מאה ממאה עד תשע מאות.
סימון כמויות בשיטה הפיניקית. כמויות מאחד עד תשע סומנו על ידי המספר המתאים של קווים אנכיים מחולק לקבוצות של שלושה.
| הערך | הסימון |
|---|---|
| 1 | 𐤖 |
| 5 | III II |
| 9 | III III III |
| 10 | 𐤗 |
| 20 | 𐤘 |
| 100 | 𐤙 |
בהמשך הוצגו כמויות באמצעות אותיות האלפבית. בתרבויות שהשתמשו לצורך כתיבה באלפבית מסוג אבג'ד, כגון ארמית, עברית וערבית, תשע האותיות הראשונות באלפבית שמשו לייצוג כמויות מאחד עד תשע והאותיות הבאות יצגו עשרות ומאות בהתאמה. שיטה דומה הייתה בשימוש התרבויות שהתשמשו באלפבית הקירילי.
היוונים העתיקים השתמשו במאה השביעית לפנה"ס לצורך ציון כמות באות הראשונה של מילה המתאימה (אקרופוניה). לדוגמה האות Δ נבחרה לסימון הכמות עשר (ΔΕΚΑ). שיטה זאת הוחלפה במאה הרביעית לפני הספרייה בשיטת הספרות היווניות, הזהה בתפיסתה לשיטת הספרות העבריות.
ספרות יווניות (מאה רביעית לפני הספרירה)
| יחידות | α | β | γ | δ | ε | ϛ | ζ | η | θ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| עשרות | ι | κ | λ | μ | ν | ||||
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
הספרות הרומיות
| 900 | 666 | 400 | 99 | 80 | 24 | 20 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| CM | DCLXVI | CL | XCIX | LXXX | XXIV | XX | XI | X | IX | VIII | VII | VI | V | IV | III | || | I |
הרומאים פיתחו שיטה המשלבת בין השיטה הפיניקית (קווים אנכיים) לשיטה היוונית (אות ראשונה של המילה, כגון M עבור אלף (mille), C עבור מאה (centum)).
בכל השיטות הללו נכתבו המספרים כרצף של אותיות. בשיטת האותיות היווניות השתמשו בגרש (ʹ) ובכתיב העברי בגרשיים (") על מנת להבדיל בין אות לספרה. לפי כך, בשיטה היוונית נכתב המספר 241 כ- σμαʹ היינו σ=200, μ= 40, α= 1, ובשיטת הספרות העבריות רמ"א (ר= 400, מ=40, א=1). בשיטות אלה לא היה כל סימון למוסג "אפס".
החיסרון הבולט של שיטות אלה היה בחוסר היכולת לבצע בהן חישובים ולייצג מספרים גדולים מאוד.
שיטת המספרים העשרוניים עריכה
שיטת המספרים עשרוניים מאפשרת לייצג כל כמות, ללא מגבלת גודל, באמצעות עשרה סימנים (ספרות), תשעה עבור כמויות מאחד עד תשע ואחד עבור "אפס". לכל סימן משויך ערך מוחלט כאשר הוא מופיע לבד, וערך משתנה (כפולה של חזקת 10) כאשר הוא מופיע ברצף של ספרות (מספר). כחלק מרצף של ספרות, כל ספרה מקבלת את ערכה על פי מיקומה ברצף (אנ'). שיטה זאת הביאה לפישוט ניכר בביצוע כל הפעולות החשבוניות.
הרעיון לבטא מספרים גדולים מאוד באמצעות חזקות של 10 הופיע באופן עצמאי במספר מסורות מתמטיות עתיקות, כגון תרבות המאיה, התרבות הסינית בתקופת שושלת שאנג (1200 לפנה"ס) [7] והתרבות ההודית.
בתקופה הוודית (500-1500 לפנה"ס) (אנ') הוצעו שמות לחזקות של 10, כגון dasa עבור 101, shatha עבור 102, sahrasa עבור 103, דבר שאפשר לבטא את המספר 6,432 בצורה מילולית כ- 6sahrasa, 4 shatha, 3 dasa, 2.
בשנת 628 לספירה, האסטרונום והמתמטיקאי ההודי בראהמגופטה הגדיר "אפס" כתוצאה מהחסרת מספר מעצמו. במאה השביעית לספירה המתמטיקאים ההודים השתמשו ב"אפס" לציון כמות אך גם כדרך לציון מקום ריק ברצף ספרות.[8] הסימן שייצג את "אפס" היה תחילה נקודה (.). השמימוש בסימן (0) עבור "אפס" הופיע לראשונה בכתובת משנת 876 שנמצאה בעיר גוואליור שבהודו.
השיטה העשרונית הופצה בארצות האסלאם ולאחר מכן באירופה דרך ספריהם של המתמטיקאי הפרסי מוחמד אבן מוסא אל-ח'ווארזמי "אודות חישובים עם מספרים הודיים" (בפרסית: حساب اعداد هندی, Hesab-e A'dad-e Hendi), שנכתב בסביבות שנת 825, של המתמטיקאי הערבי אל-כנדי "אודות השימוש במספרים הודיים" (בפרסית: كتاب في استعمال العداد الهندي, kitāb fī isti'māl al-'adād al-hindī) שנכתב בסביבות שנת 830, ושל המדען הפרסי קושיאר אבן לבן (אנ') "עקרונות החשבון ההינדי" (בערבית: كتاب في أصول حساب الهند, Kitab fi usul hisab al-hind) (אנ').[9]
השימוש בסמלים עריכה
סימן מתמטי הוא סימן או שילוב של סימנים המשמש לייצוג עצם מתמטי, לציון פעולה המבוצעת על עצם מתמטי או קשר בין עצמים מתמטיים, או לכתיבת נוסחה או ביטוי מתמטי.
הסימנים המתמטיים הבסיסיים הם הספרות העשרוניות (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) המייצגות מספרים במערכת הספרות ההודיות-ערבית ואותיות האלפבית הלטיני. האותיות הרישיות מייצגות נקודות בגאומטריה והאותיות הקטנות מייצגות נעלמים, משתנים או קבועים. אותיות האלפבית היווני, שאינן דומות לאותיות האלפבית הלטיני, נמצאות גם כן בשימוש במתמטיקה, במדע ובהנדסה בתור קבועים או פונקציות מיוחדות. בהקשרים אלה האותיות הרישיות והאותיות הקטנות מייצגות ישויות נפרדות ובלתי קשורות.
כדי להרחיב את מבחר הסימנים צורפו במרוצת הזמן סימני כתב וסימנים פיסוק כגון +, -, \ לסימון פעולות מתמטיות >,<,= לציון יחסים בין עצמים, וסימונים המציינים קשרים לוגיים בין עצמים. לדוגמה, <math>a\and b</math> שפירושו a וגם b, בעוד ש- <math>a\or b</math> פירושו a או b.
שימוש בכתב עילי ובכתב תחתי משנה גם כן את משמעות הסימון. לדוגמה בביטוי המסמן העלאה בחזקה an, האות n (המעריך) מציינת כמה פעמים יש להכפיל את הקבוע a בעצמו. לעומת זאת, בביטי an, האות n (אינדקס) מציינת את מיקומו של האיבר a במערך.
ככל שהמתמטיקה נקראה לתמוך בתחומים נוספים כגון גאומטריה, אלגברית, אלקטרומגנטיות, האלגברה הבוליאנית, מכניקת הקוונטים, תורת היחסות הפרטית, הורגש הצורך בהכנסת סימנים רבים נוספים אחרים.
פירוט מקיף של הסימנים המתמטיים ושנת הופעתם מוצג ב"טבלת סמלים מתמטיים לפי תאריך פרסומם" (אנ').
בשפה המתמטית, הסימנים ממלאים תפקיד דומה לזה של השמות, הפעלים והתארים בשפות הטבעיות ומאפשרים תיאור לא מילולי של פעולות מתמטיות.
לדוגמה, <math>3<X<7</math> פירושו הנעלם X קטן משבע אך גדול משלוש. סימנים אלה הוצגו לראשונה על ידי המתמטיקאי האנגלי תומאס הריוט בספרו משנת Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas 1631.[10]
בביטוי (a-b)3, הסוגריים מציינים את סדר הפעולות: תחילה יש להחסיר את b מ-a ולאחר מכן יש להכפיל את התוצאה בשלוש. השימוש בסוגריים לצורך זה הוכנס לראשונה על ידי ניקולו טרטליה בשנת 1556.
המעבר לאלגברה סימבולית התחיל בימי הביניים בארצות האסלאם ומתואר בעבודותיהם של אבן אל-בנא אל-מרקושי (אנ') (1321-1256) ושל אבו אל-חסן אבן עלי אל-קלשאדי (אנ') (1482-1412). בעבודתו של אל-קלשאדי מופיעים לראשונה סימנים עבור הפעולות המתמטיות הבסיסיות - חיבור, חיסור, כפל וחילוק - כמו גם עבור העלאה בחזקה והוצאת שורש. הסמלים בהם הוא השתמש היו האות הראשונה של המילה המתארת את הפעולה.
הסימון המתמטי הוכנס לראשונה באירופה על ידי המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט בסוף המאה ה-16, והורחב במהלך המאות 17 ו-18 על ידי רֶנֶה דֶקַארְט, אבי הגאומטריה האנליטית, אייזק ניוטון, מייסד המכניקה הקלאסית, גוטפריד וילהלם לייבניץ, אבי החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, ולאונרד אוילר. פרנסואה וייט היה הראשון שהשתמש באופן שיטתי בנוסחאות ובמיוחד בסמלים עבור משתנים, אם כי הסימנים בהם השתמש היו שונים מאלה הנמצאים בשימוש כיום. הסימון המודרני x, y, z עבור נעלמים, a, b, c עבור קבועים ו-i עבור מספר מדומה הוכנס על ידי רנה דקארט. לאונרד אוילר היה אחראי להכנסת הסימון המתמטי עבור פונקציה f(x), לבחירה באות e לסימון בסיס הלוגרטים הטבעי, לבחירה באות היוונים הגדולה Σ לסימון סכום ולשימוש באות היוונית הקטנה <math>\ \pi</math>לייצוג קבוע ארכימדס.
הסימנים פלוס (+) ומינוס (-) הופיעו לראשונה בשנת 1489 בעבודתו של המתמטיקאי הגרמני יהנס וידמאן (אנ') Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft שדנה בעודפים וחוסרים במסחר. העודפים צוינו בסימן (+) והחוסרים בסימן (-).
קריסטוף רודולף (אנ'), מחבר הספר הראשון להוראת אלגברה בגרמנית (1524), הציע את הסימן (√) לציון שורש ריבועי והשתמש בסימן פלוס (+) לסימון חיבור ובסימן מינוס (-) לסימון חיסור. רוברט רקורד הציג בשנת 1557 לקוראי האנגלית בספרו The Whetstone of Witte (אנ') את סימן השוויון (=), ואת הסימנים פלוס (+) ומינוס (-), שהיו כבר מוכרים לקוראי שפות אחרות.[11]
הניסיונות הראשונים לבצע סטנדרדיזציה של הסימון המתמטי החלו כבר במאה ה-19.
בשנת 1978 פרסמה הוועדה הטכנית ISO/TC-12 [12] את המהדורה הראשונה של התקן 31-11 ISO (אנ') שכותרתה "סימנים וסמלים מתמטיים לשימוש במדעים הפיזיקאליים ובטכנולוגיה". התקן התעדכן מספר פעמים ושמו הוחלף. המהדורה האחרונה של התקן היא ISO-80000-2:2019 (אנ').[13] מהדורה זאת כוללת הגדרות סימנים עבור לוגיקה מתמטית, תורת הקבוצות, אריתמטיקה ומספרים מורכבים, פונקציות ופונקציות מיוחדות, מטריצות, וקטורים וטנזורים, מערכות קואורדינטות ויחסים מתמטיים.
ראו גם עריכה
הערות שוליים עריכה
- ^ Diophantos of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. By Sir Thomas Little Heath. Pg 77.
- ^ Mathematics: Its Power and Utility. By Karl J. Smith. Pg 86.
- ^ Cooke, Roger (1997). The History of Mathematics: A Brief Course. P. 167-168
- ^ Derbyshire, John (2006). Unknown Quantity: A Real And Imaginary History of Algebra. P. 35-36
- ^ Solomon Gandz, The Sources of al-Khowarizmi's Algebra
- ^ Aaboe, Asger (1998). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House. pp. 30–31
- ^ Douglas M. Campbell, John C. Higgins, Mathematics: People, Problems, Results, Taylor & Francis, 1984, ISBN 978-0-534-02879-4. (בEnglish)
- ^ Zero, Maths History (ב־English)
- ^ J. P. Hogendijk, A. I. Sabra, The Enterprise of Science in Islam: New Perspectives, MIT Press, 2003, ISBN 978-0-262-19482-2. (בEnglish)
- ^ Thomas Harriot
- ^ Mathematical Magazine, Artemas Martin, 1887. (בEnglish)
- ^ ISO/TC 12 Quantities and units
- ^ ISO 80000-2:2019(en) Quantities and units — Part 2: Mathematics