אבולוט

קובץ:Ellipse evolute.svg

אבולוט של אליפסה הוא אסטרואידה מתוחה בציר המשני של האליפסה

בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במישור <math>\gamma : [0,L] \to \mathbb{R}^2</math> בפרמטריזציה טבעית, אֵבוֹלוּט (באנגלית: Evolute; בעברית: לָפוּף) מוגדר כמקום הגאומטרי של כל מרכזי העקמומיות שלה.

נוסחת האבולוט היא:

<math>\vec{E}(s) = \vec{\gamma}(s) + R(s) \vec{n}(s) = \vec{\gamma}(s) + \frac{1}{k(s)}\vec{n}(s)</math>

כאשר

• k היא העקמומיות של העקומה <math>\gamma</math> (המתקבלת לפי משוואות פרנה מתוך <math>\ \frac{d \vec{v}}{ds} = \vec{v}'(s) = k(s) \vec{n}(s)</math>, או בנוסחה מפורשת <math>\ k(s) = \langle \vec{\gamma}(s), \vec{n}(s) \rangle</math>)
• <math>\ R(s)=\frac{1}{k(s)}</math> הוא רדיוס העקמומיות
• <math>\vec{n}(s)</math> הוא וקטור יחידה הניצב לווקטור המשיק לעקומה <math>\vec{v}(s) = \vec{\gamma}'(s)</math> ויוצר עמו בסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית.

אנליטית, ניתן לתאר את האבולוט כתמונה הסינגולרית של ההעתקה

<math>\ (\tau, s) \longmapsto \vec{F}(\tau ,s) = \vec{\gamma}(s) + \tau \vec{n}(s)</math>.

במקום זה, המתקבל עבור <math>\ \tau = 1/k(s)</math>, הנורמלים בנקודות קרובות איניפיניטסימלית נחתכים ולכן <math>\ ( \tau, s)</math> לא מהווים מערכת קואורדינטות מוגדרת היטב. מכאן נובע שהאבולוט הוא מעטפת של כל הנורמלים לעקומה.^{[דרושה הבהרה]}

משפט שימושי לחישוב אורך של קשת (רגולרית ובלי קודקודים, כלומר: <math>\ k(s), k'(s) \ne 0</math>) על האבולוט טוען שאורך הקשת שווה להפרש רדיוסי העקמומיות בנקודות הקצה:

<math>\ \int_{s_1}^{s_2} | E'(s) | ds = \int_{s_1}^{s_2} \left| \left( \frac{d}{ds} R'(s) \right) \vec{n}(s) \right| ds = \int_{s_1}^{s_2} | R'(s) | ds = \left| \int_{s_1}^{s_2} R'(s)ds \right| = \left| R(s_2) - R(s_1) \right|</math>

כאשר המעבר הלפני האחרון נעשה מאחר ש-R היא פונקציה מונוטונית (עולה או יורדת) של s בקשת רגולרית, ו-

<math>\ \vec{E}'(s) = \gamma'(s) + R'(s) \vec{n}(s) + R(s) \vec{n}'(s) = \vec{v}(s) + R'(s) \vec{n}(s) - R(s)k(s)\vec{v}(s) = R'(s) \vec{n}(s)</math>

לפי משוואות פרנה.

הדיון הראשון באבולוט נמצא בכרך ה-V של הספר "חרוטים" ("Conics") מאת אפולוניוס (בסביבות 200 לפני הספירה), אך מי שנחשב לראשון שלמד אותם בצורה יסודית הוא כריסטיאן הויגנס (1673).

קישורים חיצוניים

• אבולוט, באתר MathWorld (באנגלית)
• אבולוט, ב-MathWorld של אריק ויינשטיין
• Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Evolutes." pp. 86ff
• Evolute on 2d curves.