שחלוף (מתמטיקה)

באלגברה ליניארית, שחלוף (לפעמים גם חילוף; אנגלית: Transpose) הוא פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה. הפעולה מקבלת מטריצה בת n שורות ו-m עמודות, ומחזירה מטריצה בת m שורות ו-n עמודות, שבמקום ה-(i, j) שלה נמצא האיבר ה-(j, i) של המטריצה המקורית. השחלוף הוא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג ראשון. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה סימטרית.

קובץ:Matrix transpose.gif

השחלוף A^T של מטריצה A יכולה להתקבל על ידי שיקוף של מקדמי המטריצה לאורך האלכסון הראשי. חזרה על הפעולה מחזירה את המקדמים למקומם המקורי.

הגדרה פורמלית

תהא <math>\!\, A</math> מטריצה מסדר <math>n\times m</math>. המטריצה המשוחלפת שלה, <math>A^\top </math> (מקובלים גם הסימונים <math>\ A^{T}, A^{t}, {}^tA, A^{tr}, A'</math>) היא מטריצה מסדר <math>\!\, m\times n</math> שמוגדרת כך: <math>\!\, (A^\top)_{ij}=(A)_{ji}</math>, עבור כל <math>\!\, 1\le i\le m, 1\le j\le n</math>.

דוגמאות:

<math>\begin{bmatrix}

1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^\top \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\qquad </math> <math>\qquad \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^\top \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \; </math>

תכונות

פעולת השחלוף מהווה, כאמור, אינוולוציה מסוג ראשון. פירושו של דבר הוא שהפעולה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר, הופכת את פעולת הכפל, ויש לה סדר 2:

• <math>\!\, (A+B)^\top=A^\top+B^\top</math>.
• <math>\!\, (\lambda A)^\top=\lambda (A^\top)</math>.
• <math>\!\, (AB)^\top=B^\top A^\top</math>
• <math>\!\, (A^\top)^\top=A</math>

מן התכונות האלה נובע גם שאם <math>\!\, A</math> הפיכה אז גם <math>\ A^\top</math> הפיכה ו-<math>\!\, (A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top</math>.

הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה. מכאן נובע שגם הפולינום האופייני של <math>\ A^\top</math> שווה לזה של <math>\ A</math>, ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים. יתרה מזו, כל מטריצה דומה למטריצה המשוחלפת שלה.

מטריצות מיוחדות הקשורות בשחלוף

מטריצה ריבועית <math>\ A</math> נקראת סימטרית אם <math>A^\top = A</math>, כלומר <math>\ A</math> שווה למטריצה המשוחלפת שלה. <math>\ A</math> נקראת אנטי-סימטרית אם <math>A^\top = -A</math>.

אם <math>\ A</math> היא מטריצה ריבועית הפיכה ומתקיים <math>\ A^{-1} = A^\top</math>, אז <math>\ A</math> נקראת מטריצה אורתוגונלית. כלומר, מטריצה ריבועית <math>\ A</math> היא אורתוגונלית אם ורק אם <math>\ AA^{\top} = A^{\top}A = I</math>, כאשר <math>\ I</math> היא מטריצת היחידה.

בדומה לפעולת השחלוף אפשר להגדיר גם פעולת הצמדה הרמיטית הכוללת בנוסף לשחלוף גם פעולת הצמדה של אברי השדה. הצמוד ההרמיטי של מטריצה <math>\ A</math> מסומן <math>\ A^*</math> וכאמור מוגדר לפי <math>\ (A^*)_{ij} = \overline{A_{ji}}</math>. אם <math>\ A</math> מקיימת <math>\ A^* = A</math>, היא נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית בדיוק כאשר כל הרכיבים שלה ממשיים. בעניין זה, ראו גם אופרטור הרמיטי.

שחלוף של העתקה ליניארית

קובץ:Postscript-viewer-blue.svg ערך מורחב – מרחב דואלי#שחלוף של העתקה ליניארית

אם <math>\ V</math> ו-<math>\ W</math> הם מרחבים וקטוריים מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ו-<math>T:V \to W</math> היא העתקה ליניארית, ההעתקה המשוחלפת שלה היא העתקה <math>T^{\top}:W^{*}\to V^{*}</math> בין המרחבים הדואליים של <math>\ W</math> ו-<math>\ V</math> המוגדרת באופן הבא:

<math>\left(T^{\top}g\right)\left(v\right)=g\left(T\left(v\right)\right)</math> לכל <math>v\in V</math> ולכל <math>g\in W^{*}</math>.

זוהי העתקה ליניארית ודרגתה שווה לדרגת <math>\ T</math>. הפונקציונל <math>\ T^\top g</math> מכונה לעיתים המשיכה לאחור של <math>\ g</math> במקביל ל-<math>\ T</math>.

אם <math>\ V</math> ו-<math>\ W</math> הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים, <math>\mathfrak{B}</math> הוא בסיס סדור ל-<math>\ V</math> עם בסיס דואלי <math>\mathfrak{B}^{*}</math>, <math>\mathfrak{B}'</math> הוא בסיס סדור ל-<math>\ W</math> עם בסיס דואלי <math>\mathfrak{B}'^{*}</math> ו-<math>\ A</math> היא המטריצה המייצגת של <math>\ T</math> ביחס לבסיסים <math>\mathfrak{B},\mathfrak{B}'</math>, אז המטריצה המייצגת של <math>\ T^\top</math> ביחס לבסיסים <math>\mathfrak{B}'^{*},\mathfrak{B}^{*}</math> היא בדיוק <math>\ A^\top</math>.

קישורים חיצוניים

• שחלוף, באתר MathWorld (באנגלית)