משפט דה מואבר
פעולות נוספות
משפט דה-מואבר, הקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר, קובע שלכל מספר ממשי <math>x</math> ולכל מספר שלם <math>n</math> מתקיים:
<math>\big(\cos (x) + i \sin (x)\big)^n = \cos (nx) + i \sin (nx)</math>
כאשר <math>\cos(x)</math> מייצג את הרכיב הממשי במספר המרוכב <math>\cos(x)+i\sin(x)</math>, ו־<math>i\sin(x)</math> מייצג את הרכיב המדומה במספר זה.
חשיבותו של משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה. באופן פרקטי, המשפט מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה או למצוא שורש שלהם. לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת גדלים טריגונומטריים <math>\cos(nx)</math> ו-<math>\sin(nx)</math> כפולינומים ב-<math>\cos(x)</math> ו-<math>\sin(x)</math>, בהתאמה. כך לדוגמה, <math>\cos(5x) = 16\cos(x)^5-20\cos(x)^3+5\cos(x)</math>. ראו פולינומי צ'בישב.
את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח באינדוקציה. מן הזהות <math>\ [\cos(x)+i\sin(x)][\cos(y)+i\sin(y)] = \cos(x+y)+i\sin(x+y)</math>, השקולה לזהויות הטריגונומטריות <math>\ \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)=\cos(x+y)</math> ו-<math>\ \cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y)=\sin(x+y)</math>.
אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של אייזק ניוטון, בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי <math>(e^{ix})^n = e^{i(nx)}</math>.
הוצאת שורש מרוכב עריכה
ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם <math>z</math> הוא מספר מרוכב שונה מאפס, ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה <math>z=A(\cos x+i\sin x)\,</math>, <math>\ 0 < A</math> ו- <math>\ 0\leq x<2\pi</math>.
המספר <math>\ \omega = B(\cos y+i\sin y)</math> (עם <math>\ 0< B</math>), הוא שורש מסדר n של z אם <math>\ \omega ^n = z</math>, כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר, <math>\ B^n \cdot (\cos ny+i\sin ny) = A \cdot (\cos x+i\sin x)</math>. זה קורה בדיוק כאשר :
- <math>\ \ B^n = A \, \ \cos ny+i\sin ny = \cos x+i\sin x</math>
כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר n וכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור <math>\ 2\pi</math>(רדיאנים):
- <math>\omega = \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{A(\cos x+i\sin x)}=\sqrt[n]{A}\left\{\cos\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)\right\}</math>
כאשר <math>\ k=0,1,\dots,n-1</math>, ואלו בדיוק n השורשים של z.
ראו גם עריכה
קישורים חיצוניים עריכה
- משפט דה-מואבר לזהויות הטריגונומטריות
- משפט דה מואבר, באתר MathWorld (באנגלית)