רדיאן

קובץ:Radian cropped color (he).svg

זווית בגודל של רדיאן אחד נוצרת על ידי קשת שאורכה שווה לאורך של רדיוס המעגל

רדיאן הוא יחידת מידה חסרת ממד למדידת זוויות הכלול במערכת היחידות הבין-לאומית. בעבר היה הרדיאן יחידה משלימה של מערכת היחידות הבין-לאומית, אך קטגוריה זו בוטלה ב-1995.

הרדיאן מוגדר כזווית היוצאת ממרכז מעגל ונוצרת על ידי קשת שאורכה שווה לאורך של רדיוס המעגל - <math>r</math> (ראו באיור משמאל). כיוון שהיקף מעגל הוא <math>2 \pi r</math>, במעגל כולו יש בסך הכל <math>\ 2 \pi</math>רדיאנים (<math>2 \pi r/r=2 \pi</math>). לרוב, גודל זווית ברדיאנים ניתן ללא ציון היחידה המפורשת (בהיותה חסרת ממד). לעיתים היחידה מצוינת בקיצור כ-rad.

רדיאנים ומעלות

קובץ:Degree-Radian Conversion.svg

המרה בין מעלות (בתוך המעגל) לרדיאנים (מחוץ למעגל).

במובן מסוים, הרדיאנים הם יחידות הזווית האמיתיות, מאחר שמדובר בגדלים חסרי ממד הנקבעים על פי היחסים הטבעיים שבבעיה, רדיוס וקשת המעגל. זאת לעומת השימוש במעלות, בו נעשית חלוקה שרירותית של המעגל ל-360 גזרות.

מכיוון שהמעגל מחולק ל-<math>\ 2\pi</math> רדיאנים ול- 360 מעלות:

• זווית של רדיאן אחד שווה לזווית של <math>\ 180/\pi \approx 57.29578</math> מעלות.
• זווית של מעלה שווה ל- <math>\ \pi/180 \approx 0.017</math> רדיאנים.

מעלות	30	45	60	90	120	180	270	360
רדיאנים	<math>\ \pi/6</math>	<math>\ \pi/4</math>	<math>\ \pi/3</math>	<math>\ \pi/2</math>	<math>\ 2\pi/3</math>	<math>\ \pi</math>	<math>\ 3\pi/2</math>	<math>\ 2\pi</math>
גרדיאנים	⅓ 33	50	⅔ 66	100	⅓ 133	200	300	400

שימוש ברדיאנים

במתמטיקה ופיזיקה, כאשר מבצעים אנליזה מתמטית של פונקציות טריגונומטריות, הארגומנט של הפונקציה ניתן תמיד ברדיאנים כך שהפונקציה מקבלת גודל חסר ממדים ומחזירה גודל חסר ממדים.

לדוגמה: עבור גל, פונקציית הגל מתוארת על ידי <math>\ \psi (t,x) = A \sin\left( \omega t - 2\pi x / \lambda \right)</math> כאשר <math>\ \omega</math> היא התדירות הזוויתית (יחידות של 1 חלקי זמן) ואילו <math>\ \lambda</math> הוא אורך הגל (יחידות של אורך).

אחד המניעים למדידת זוויות ברדיאנים, ולא במעלות, הוא שבחשבון אינפיניטסימלי, השימוש ברדיאנים מוביל לזהות הפשוטה:

<math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1</math>

אשר היא הבסיס לזהויות רבות במתמטיקה דוגמת נוסחאות הגזירה של הפונקציות הטריגונומטריות. לכן, הרדיאן הוא יחידת מידה "טבעית" לזווית. לו הזווית הייתה נמדדת במעלות ולא ברדיאנים, הגבול והנגזרות היו כוללים פקטור תיקון שהיה מסרבל מעט את הנוסחאות, ואינו מופיע כאשר מודדים את הזווית ברדיאנים. כך, לדוגמה, טור טיילור של פונקציית הסינוס, כאשר הזווית נמדדת ברדיאנים, הוא:

<math>

\begin{align} \sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[8pt] & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\[8pt] \end{align} </math>

אם, לעומת זאת, הזווית הייתה נמדדת במעלות, מהעובדה ש-x רדיאנים שווים πx /180 מעלות, היה מתקבל טור טיילור הבא:

<math>\begin{align}

\sin x_\mathrm{deg} & = \frac{\pi}{180} x - \left (\frac{\pi}{180} \right )^3\ \frac{x^3}{3!} + \left (\frac{\pi}{180} \right )^5\ \frac{x^5}{5!} - \left (\frac{\pi}{180} \right )^7\ \frac{x^7}{7!} + \cdots . \end{align}</math>

ראו גם

• אנליזה הרמונית
• תדירות זוויתית
• סטרדיאן - למדידת זוויות תלת־ממדיות (זוויות מרחביות).
• אלפית - יחידת מדידה צבאית המבוססת על הרדיאן.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', כמה מעלות טובות לרדיאן עלינו, באתר "לא מדויק", 11 בינואר 2008
• גדי אלכסנדרוביץ', מה בעצם הולך בטריגונומטריה בתיכון? (חלק ו' - רדיאנים), באתר "לא מדויק", 18 באוגוסט 2021
• שני סרטוני הסבר - משמעות המושג וחשיבותו.
• סרט על רדיאנים ושימושיהם בעברית- באתר יו-טיוב
• רדיאן, באתר MathWorld (באנגלית)