תת-מרחב שמור

באלגברה ליניארית, תת-מרחב שמור (או תת-מרחב אינוַריאנטי) של העתקה ליניארית <math> T </math>, הוא תת-מרחב וקטורי שהעתקה <math> T </math> שולחת את הווקטורים שלו בחזרה לעצמו.

אם <math> W </math> תת-מרחב שמור של <math> T </math> אז ניתן לצמצם את <math> T </math> לתת-המרחב <math> W </math> ולקבל: <math> {T|}_W \colon W \to W</math>

הגדרה עריכה

יהי <math> W </math> תת-מרחב ב-<math> V </math> ותהי :<math> T:V \to V</math> העתקה ליניארית. נאמר ש <math> W </math> תת-מרחב שמור <math> T </math> של <math> V </math> אם <math>\ T(W) \subseteq W</math>.

תהי <math> A </math> מטריצה ריבועית מסדר <math> n </math> מעל שדה <math>\ \mathbb {F} </math>. נאמר ש־<math> W </math> הוא תת-מרחב שמור <math> A </math> של <math>\ \mathbb {F}^n </math> אם לכל <math>\ w \in W</math> מתקיים <math> Aw \in W </math>.

דוגמה פשוטה עריכה

נגדיר העתקה ליניארית באופן הבא:

אזי תת-המרחב <math>W:=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}</math> הוא תת-מרחב שמור <math> T </math>, וניתן לכתוב את ההעתקה המצומצמת של <math> T </math> עליו באופן הבא: <math>{T|}_W(x,y)=(x+2y,3x+4y)</math>.

דוגמאות נוספות עריכה

יהי <math>V</math> מרחב וקטורי ו־<math>T:V \to V</math> העתקה ליניארית, אזי:

<math>V</math> עצמו ותת-מרחב האפס תתי-מרחב שמורי <math> T </math>.
אם <math>\lambda</math> ערך עצמי של <math> T </math>, אזי המרחב העצמי של <math>\lambda</math> הוא שמור <math> T </math>.
<math>\mathrm{Im}T</math> וגם <math>\mathrm{Ker}T</math> תתי-מרחב שמורי <math> T </math>.

תכונות עריכה

משפט הפירוק היסודי (פרימרי) עריכה

יהי <math> V </math> מרחב וקטורי בעל ממד סופי, <math> T:V \to V</math> העתקה ליניארית ויהי <math> p </math> הפולינום המינימלי של <math> T </math>, נוכל להציג את <math> p </math> כמכפלה של גורמים אי פריקים <math> \prod_{i=1}^{n} p_{i}^{r_i} </math>.

אזי <math>V = Ker ~{p_1}^{r_1} \oplus \cdots \oplus Ker~{p_n}^{r_n}</math> פירוק ישר של <math>V</math> לתתי-מרחב שמורי <math> T </math>.

בנוסף אם <math> T </math> לכסינה, אזי הפירוק הוא לתתי-מרחב עצמיים של <math> T </math>.

פעולות על המרחב עריכה

יהי <math> U,W </math> תתי-מרחב שמורים <math> T </math> של <math> V </math>, אזי:

<math>U\cap W</math> תת-מרחב שמור <math> T </math>.
<math>U \oplus W</math> תת-מרחב שמור <math> T </math>.
אם <math> W </math> מרחב עצמי של <math> T </math>, אזי כל תת-מרחב של <math> W </math>, הוא תת-מרחב שמור <math> T </math>.

תת-מרחב ציקלי עריכה

יהי <math>v \in V</math> וקטור במרחב וקטורי כלשהו ו־<math>T:V \to V</math> העתקה ליניארית. אזי קיים <math>k</math> מקסימלי, כך ש <math>B=\{v, Tv, T^2v,..., T^{k-1}v\}</math> קבוצה של וקטורים בלתי תלויים.

תת-המרחב <math>W</math> אשר <math>B</math> הוא בסיס שלו נקרא תת-מרחב ציקלי של <math> V </math> ביחס ל-<math> T </math> ול-<math>v</math>, והוא תת-מרחב שמור ה־<math> T </math> הקטן ביותר המכיל את <math>v</math>.

הטלות עריכה

קובץ:Postscript-viewer-blue.svg ערך מורחב – הטלה (מתמטיקה)

יהי <math>V</math> מרחב וקטורי בעל ממד <math>n</math> המחולק לסכום ישר של <math>k \le n</math> תתי-מרחב, לכל תת-מרחב <math>W_i</math> נצמיד הטלה <math>E_i</math>, אזי <math>W_i</math> הם שמורי <math> T </math> אם ורק אם <math>TE_i=E_iT</math> לכל <math>i</math>.