תיאום עכבות (אקוסטיקה)

באקוסטיקה, להליך ההנדסי של תיאום עכבות אקוסטיות בממשקים בין תווכים יש תפקיד מפתח. כאשר גל קול פוגע בממשק שבין תווך אחד למשנהו, חלקו יוחזר מן הממשק וחלקו יועבר לתווך השני, כשהמשרעת המועברת תלויה במידה בה העכבות האקוסטיות של שני התווכים קרובות אחת לשנייה. אם העכבות האקוסטיות מאוד שונות מרבית האנרגיה של הקול תוחזר במקום לעבור לתווך השני, בעוד שאם מתקיים שוויון בין העכבות, הגל יועבר במלואו כאילו הממשק לא התקיים.

ביישומים טכנולוגיים הדורשים מעבר הספק מרבי (דרך שידור גלים) בין שני מיקומים שונים, לרוב לא ניתן להקרין את מלוא אנרגיית הגל בין שתי הנקודות עקב הבדלי העכבות בין שני התווכים בהם הן מצויות. התהליך ההנדסי של "תיאום עכבות" משמש כדי להגדיל את נתח האנרגיה המועברת באמצעות הוספת תווך ביניים שלישי, המכונה "מתאם עכבות", אשר "מגשר" בין שני התווכים ומאפשר להגדיל את סך האנרגיה המועברת.

תאוריה

עכבה אקוסטית

העכבה האקוסטית הסגולית האופיינית של תווך כלשהו מוגדרת כיחס בין עוצמת גל הלחץ הפועל בנקודה מסוימת לבין המהירות שבה נעה שכבת התווך כתוצאה מפעולתו. כדי לקבל את היחס הזה אפשר להשתמש בעקרון המקומיות: אם שכבה מסוימת של התווך נעה במהירות קבועה u במשך זמן קצרצר T אז נפח התווך המושפע מגל הלחץ הוא <math> V = (c_s\cdot T) A </math> כאשר <math> c_s</math> היא מהירות הקול באותו תווך ו-A שטח החתך של השכבה. כתוצאה מתנועת השכבה, הנפח הזה נדחס בשיעור <math> dV = (u\cdot T) A </math>, ולכן לפי חוק המאמץ-מעוות נובע שהלחץ הנגרם כתוצאה מתנועת השכבה הוא:

<math> P = B\cdot \fracתבנית:DVקובץ:Pictogram voting keep.svg = B\cdot \frac [[משתמש:{{{1}}}|{{{1}}}]]תבנית:C s </math>,

כאשר B הוא מודול הדחיסות. העכבה האקוסטית הסגולית של התווך היא לפיכך: <math> Z = \frac [[:d:property:P|‏‏ (P)]][[משתמש:{{{1}}}|{{{1}}}]] = \frac תבנית:Bתבנית:C s = \sqrtתבנית:\rho\cdot B </math>, כאשר המעבר האחרון נובע מכך שמהירות הקול בתווך כללי היא: <math> c_s = \sqrt{{\fracתבנית:Bתבנית:\rho}}</math>. עבור מוצקים B הוא בדרך כלל מודול יאנג של החומר ועבור גזים <math> B = \gamma\cdot P_0</math>, כאשר <math> \gamma</math> הוא יחס קיבולי החום.

ההספק האקוסטי המושקע במתן מהירות u לשכבה של התווך הוא: <math> W = F\cdot u = AP\cdot u = AP^2/Z = AZu^2</math>, כפול משטף האנרגיה הקינטית הנלווה לגל קול: <math> 1/2Ac_s\rho u^2 = 1/2A\sqrtתבנית:B\rhou^2</math>.

מקדמי העברה והחזרה

גל פוגע בניצב לממשק

כעת נניח גל לחץ מישורי המתקדם בתווך A לעבר תווך B בניצב לממשק ביניהם, כשביניהם מפרידה ממברנה דקה וחסרת מסה בעלת תכונות אקוסטיות זהות לאלו של תווך A. נגזור את מקדמי ההעברה וההחזרה T ו-R של הגל מעקרונות ראשוניים.

קובץ:F0rightclosed.gif

הקו האדום מייצג את ההעתק (u(x,t של פרודות אוויר בצינור עוגב חצי-סגור עבור התדירות היסודית. הקצה הפתוח מתפקד כקצה חופשי שערך הלחץ בו נשמר קבוע (על לחץ אטמוספירי); בקצה הסגור, לעומת זאת, הלחץ הוא פעמיים לחץ הגל הפוגע וההעתק הוא אפס.

ההנחות בפיתוח יהיו:

• רציפות הלחץ - כיוון שהממברנה חסרת מסה הכרחי להניח ששקול הכוחות הפועלים עליה הוא 0 ולכן הלחץ משני צדדיה שווה.
• רציפות ההעתק - מהירות הסחיפה של המולקולות של תווך A שווה למהירות תנועתה של הממברנה בכל רגע נתון, וכדומה לגבי תווך B.

הלחץ בסמוך לממברנה מהצד של תווך A (ששווה ללחץ מצידה השני) בכל רגע נתון הוא סכום הלחצים של הגל המוחזר והגל הפוגע, שכן הגל השקול בתווך A הוא סופרפוזיציה של הגל הפוגע והמוחזר: <math> P_{T} = P_1 = P_{I} + P_{R} \implies 1 + R = T </math>.

כדי לקבל את הקשרים הנוספים יש להבחין בין גל הלחץ לבין גל ההעתק המקושרים אל גל קול. בעוד שגל הלחץ מוחזר מממשק עם אותו מופע, גל ההעתק מוחזר עם מופע הפוך; הדבר תואם את האינטואיציה הבסיסית שפרודות תווך A בעצם מתנגשות אלסטית בממשק. לפיכך, המשוואה השנייה מתקבלת מכך שעוצמת הלחץ המועבר לתווך B היא בעצם (לפי הגדרת העכבה האקוסטית) <math> P_{T} = u\cdot Z_2 </math>, בעוד שעוצמת הלחץ המוחזר מקיימת <math> P_{R} = (v - u)\cdot Z_1 </math>, כאשר <math> v = \frac {{P_{I}}}תבנית:Z 1 </math> היא המהירות של שכבת התווך אשר הייתה מתקבלת אלמלא הממשק היה קיים. את עוצמת הלחץ המוחזר מקבלים על סמך הנחת רציפות גל ההעתק המקושר לגל הלחץ: <math> v- \frac {{\partial \delta_{R}}}תבנית:\partial t = u </math>. מקשרים אלו מקבלים את מערכת המשוואות הליניאריות:

<math> 1 + R = T </math>

<math> R = 1 - \frac תבנית:UZ 1תבנית:P I </math>

<math> T = \frac תבנית:UZ 2תבנית:P I </math>

פתרון המערכת נותן את מקדמי ההעברה וההחזרה של גל הלחץ:

<math> R = \frac תבנית:Z 2 - Z 1תבנית:Z 2 + Z 1, T = \frac תבנית:2Z 2תבנית:Z 2 + Z 1 </math>.

מבחינת שימור האנרגיה, זרם האנרגיה האקוסטית של גל הלחץ לפני הפגיעה בממשק שווה לסכום זרמי האנרגיה של הגל המוחזר והמועבר:

<math> \fracתבנית:P^2 Iתבנית:Z 1 = \fracתבנית:P^2 Rתבנית:Z 1 + \fracתבנית:P^2 Tתבנית:Z 2 \iff \fracתבנית:1תבנית:Z 1 = \fracתבנית:R^2תבנית:Z 1 + \fracתבנית:T^2תבנית:Z 2 </math>

כאשר <math> Z_2 = Z_1 </math> מקדם ההעברה הוא 1, בהתאמה עם כך שתווך B מתנהג כ"המשך אקוסטי" של A. כאשר <math> Z_2 >> Z_1 </math> מקדם ההעברה המתקבל הוא 0 משום שהתווך B צפוף אקוסטית בהרבה מ-A כך שהממשק מתנהג כקצה סגור (במה שמכונה "החזרה קשיחה") שמחזיר את גל הקול במלואו כהד. כאשר <math> Z_2 = 0 </math> מקדם ההחזרה המתקבל הוא שלילי (הוא 1-) משום שהגל מוחזר בהיפוך מופע מן הממשק. תרחיש כזה מכונה "החזרה רכה", וניתן לראות בממשק כזה קצה חופשי שהלחץ בו עומד על ערך קבוע, בדומה למצב בעמודי אוויר שבצינורות עוגב.

גל פוגע בזווית חדה

קובץ:Fresnel1.svg

תמונת השבירה של גל קול פוגע.

במקרה שבו גל קול פוגע בממשק בזווית <math> \theta_i </math> (שונה מ-0), עקרונות הפיתוח יהיו אותם עקרונות אך יש לקחת בחשבון את השבירה של גל הקול כשהוא מתקדם מתווך אחד לשני. כמו במקרה הקודם צריך להתקיים משיקולי סופרפוזיציה <math> 1 + R = T </math>, אלא שבאשר להנחת רציפות ההעתק יש להתייחס להעתק בניצב לממשק (רציפות המהירות הנורמלית). כיוון שזווית ההחזרה שווה לזווית הפגיעה, המהירויות הנורמליות של הגל הפוגע והגל המוחזר הן:

<math> v_I = \fracתבנית:P I\cdot \cos\theta iתבנית:Z 1, v_R = \fracתבנית:P R\cdot \cos\theta iתבנית:Z 1 </math>,

וההפרש ביניהן צריך לקיים:

<math> v_I - v_R = v_T = \fracתבנית:P T\cdot \cos\theta tתבנית:Z 2 </math>,

כאשר הזווית <math> \theta_t </math> מקיימת את חוק סנל: <math> \frac תבנית:\sin(\theta t)תבנית:C 2 = \frac תבנית:\sin(\theta i)תבנית:C 1 \implies \sin(\theta_t) = \fracתבנית:Z 1\rho 2תבנית:Z 2\rho 1\sin(\theta_i) </math>.

פתרון המשוואות הליניאריות מאפשר לקבל את מקדם ההחזרה:

<math> R = \fracתבנית:Z 2cos\theta i - Z 1cos\theta tתבנית:Z 2cos\theta i + Z 1cos\theta t </math>

וההעברה:

<math> T = \fracתבנית:2Z 2\cos\theta iתבנית:Z 2\cos\theta i + Z 1\cos\theta t </math>.

דוגמה לתיאום עכבות אקוסטי - הגרמופון

קובץ:VictorVPhonograph.jpg

גרמופון.

התהליך ההנדסי המכונה "תיאום עכבות" משמש לא רק בתכנון מערכת אקוסטיות, אלא גם בתכנון מערכות אלקטרוניות, ולמעשה בכל מקום שנדרש למקסם את העברת ההספק של גלים בין שני תווכים בעלי עכבות שונות. מן הנוסחאות המתארות את מקדמי ההעברה ניתן להראות מתמטית שבהינתן שני תווכים בעלי עכבות <math> Z_1 </math> ו-<math> Z_2 </math>, הוספת תווך ביניים בעל עכבה המהווה ממוצע הנדסי של שתי העכבות, דהיינו <math> Z_3=\sqrt{Z_1Z_2} </math>, תמקסם את העברת האנרגיה בין תווך 1 לתווך 2. בדומה לכך, גם את מעבר האנרגיה בין תווך 1 לתווך 3 ניתן להגדיל עוד יותר, על ידי הוספת תווך ביניים ביניהם לפי הכלל של ממוצע הנדסי. מכיוון שעבור כל נקודת אי-רציפות של העכבה ניתן להגדיל את מעבר האנרגיה באמצעות הוספת תווך ביניים, עולה שמיקסום האנרגיה המועברת ייתכן רק כאשר העכבה משתנה באופן רציף, כלומר <math> Z(x) </math> צריכה להיות פונקציה רציפה של המיקום. בדומה למקרה הבדיד, גם כאן נדרוש שהעכבה של כל מקטע אינפיניטסימלי תהיה ממוצע הנדסי של עכבות המקטעים השכנים לו, מה שמוביל למשוואה הדיפרנציאלית:

<math> \frac{Z(x)}{Z(x-dx)} = \frac{Z(x+dx)}{Z(x)} \implies \frac{Z'(x)}{Z} = \mathbb{const} </math>

נסמן את הקבוע הזה בתוך <math> -\alpha </math>, ונקבל שעקומת העכבה האופטימלית לצורך תיאום עכבות בין נקודה x=0, הממוקמת בתווך בעל עכבה <math> Z_1 </math>, לבין הנקודה השנייה היא עקומה המתארת דעיכה או גידול מעריכי:

<math> Z(x)=Z_1e^{-\alpha x} </math>

אחת הדוגמאות הקלאסיות לתיאום עכבות אקוסטיות הוא הגרמופון, אשר שיקולים של תיאום עכבות הובילו לבחירת צורה דמוית גוף סיבוב של פונקציית האקספוננט עבור השפופרת שלו.

תיאום עכבות בטכנולוגיה ובטבע

לקונספט של תיאום עכבות אקוסטיות יש חשיבות במגוון יישומים טכנולוגיים:

קובץ:Rfel vsesmer front.png

מקור קול איזוטרופי ב"חדר שקט".

• לתיאום עכבות חשיבות קריטית ביישומים שונים של בידוד אקוסטי כגון "חדרים שקטים" או צמצום רעשי מנוע בכלי רכב.
• התאוריה מאחורי טכניקת החמקנות של ציפוי בולע קרינת מכ"ם היא האנלוג האלקטרומגנטי לתאוריה האקוסטית שמאחורי ציפוי בולע קול; השכבה החיצונית של הציפוי מתוכננת כך שתהיה בעלת עכבה אלקטרומגנטית כמעט זהה לשל האוויר. המרת האנרגיה האלקטרומגנטית לחום נגרמת מניחות של האות האלקטרומגנטי בתוך הציפוי בטווח תדרים רחב.
• באקוסטיקה תת-מימית יש חשיבות רבה להחזרה של גלי קול מפני הים, הנובעת מפערי העכבות הקיצוניים בין המים לאוויר.
• עצמות האוזן התיכונה מספקות תיאום עכבות בין עור התוף (אשר שינויי הלחץ של האוויר פועלים עליו) והאוזן הפנימית המלאה בנוזלים.

ראו גם

• עכבה חשמלית
• חוקי פרנל
• ציפוי נגד החזרה