שלשה פיתגורית

קובץ:Pell right triangles.svg

שלשה פיתגורית (או שלשה פיתגוראית) היא שלשה של מספרים טבעיים המקיימת את השוויון <math>a^2+b^2=c^2</math>, המופיע במשפט פיתגורס. בהתאם למשפט ההפוך למשפט פיתגורס, משולש שצלעותיו מהוות שלשה פיתגורית הוא משולש ישר-זווית. השלשה הפיתגורית הקטנה ביותר, <math>(3,4,5)</math>, הייתה ידועה משחר ההיסטוריה, ומשערים שהמשולש ישר הזווית שמתקבל ממנה שימש להעברת אמות מים עוד במצרים הקדומה.

משולש (ישר-זווית) שאורכי צלעותיו מהווים שלשה פיתגורית נקרא משולש פיתגורי.

כל שלשה פיתגורית אפשר להכפיל בגורם קבוע שלם, ולקבל שלשה פיתגורית חדשה (אם <math>(a,b,c)</math> היא שלשה פיתגורית, אזי <math>a^2+b^2=c^2</math> ולכן גם <math>(ak)^2+(bk)^2=(ck)^2</math>, כאשר <math>(ak,bk,ck)</math> גם היא שלשה פיתגורית). שלשה פיתגורית שלא ניתן לקבל כמכפלה של שלשה פיתגורית אחרת בקבוע שלם גדול מ-1 נקראת שלשה פרימיטיבית: אלו הן השלשות <math>(a,b,c)</math> שבהן המחלק המשותף המקסימלי הוא 1; בשלשה כזו, המחלק המשותף המקסימלי של כל שני מספרים הוא 1.

להלן רשימת 16 השלשות הפרימיטיביות שבהן <math>c\le100</math>:

(3,4,5)	(5,12,13)	(15,8,17)	(7,24,25)
(21,20,29)	(35,12,37)	(9,40,41)	(45,28,53)
(11,60,61)	(33,56,65)	(63,16,65)	(55,48,73)
(13,84,85)	(77,36,85)	(39,80,89)	(65,72,97)

פרמטריזציה של התבנית הריבועית עריכה

אפשר לייצר אינסוף שלשות פיתגוריות באמצעות הנוסחה

<math>\begin{align}a&=m^2-n^2\\b&=2mn\\c&=m^2+n^2\end{align}</math>

כאשר <math>m,n</math> מספרים טבעיים. ההוכחה שאלו אכן שלשות פיתגוריות היא על ידי חישוב ישיר:

משערים שנוסחה זו הייתה ידועה כבר לבבלים, שיצרו לוח בכתב יתדות (לוח פלימפטון 322) המתוארך לתקופה שבין שנת 1900 לפנה"ס לשנת 1600 לפנה"ס וכולל חמש-עשרה שלשות פיתגוריות, ובהן <math>1771^2+2700^2=3229^2</math> (אותה אפשר לקבל אם נבחר <math>m=50,n=27</math>).

בפרט, אם נציב <math>m=n+1</math> נקבל את השלשות

<math>\begin{align}a&=2n+1\\b&=2n(n+1)=\frac{a^2-1}{2}\\c&=2n^2+2n+1=\frac{a^2+1}{2}\end{align}</math>

לכן כל מספר אי-זוגי (למעט המספר <math>1</math>) הוא חלק משלשה פיתגורית פרימיטיבית, ומכאן שיש אינסוף שלשות פיתגוריות פרימיטיביות.

משפט: כל שלשה פיתגורית פרימיטיבית אפשר להציג באמצעות הנוסחה שבראש הסעיף, כאשר <math>m,n</math> זרים ובעלי זוגיות שונה.

הוכחה: נבחין שאם <math>(a,b,c)</math> שלשה פרימיטיבית, אזי <math>c</math> מוכרח להיות אי-זוגי, וכן גם אחד (בדיוק) מבין המספרים <math>a, b</math> (זאת משום שריבוע משאיר תמיד שארית 0 או 1 בחלוקה ל-4). יהי <math>b</math> המספר הזוגי בשלשה. מן השוויון <math>a^2+b^2=c^2</math> נובע <math>b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a)</math>, כאשר <math>c-a,c+a</math> שניהם זוגיים. מכיוון ש-<math>a,c</math> זרים מתקיים כי <math>\gcd\bigl\{c-a,c+a\bigr\}=2</math>, ומכיוון שמכפלתם היא <math>b^2</math> נובע כי כל אחד מן הגורמים הוא פעמיים ריבוע. אם נכתוב <math>c-a=2s^2,c+a=2t^2</math> נקבל את ההצגה הדרושה. כעת <math>s,t</math> זרים משום שכל מחלק משותף שלהם מחלק גם את <math>a,b,c</math>, ואחד מהם זוגי משום שאחרת <math>a,b,c</math> כולם זוגיים.

מכאן אפשר לקבל נוסחה כללית לכל השלשות הפיתגוריות:

<math>\begin{align}a&=(m^2-n^2)k\\b&=2mnk\\c&=(m^2+n^2)k\end{align}</math>

כאשר <math>m,n</math> זרים ובעלי זוגיות שונה; כל שלשה מוצגת כך באופן יחיד (משום ש-<math>k</math> הוא המחלק המשותף המקסימלי של שלושת המספרים). זוהי דוגמה לפתרון של משוואה המתקבלת מתבנית ריבועית עם נקודה רציונלית. ישנן שלשות, כגון <math>(9,12,15)</math>, שלא ניתן להציג עם <math>k=1</math> (במקרה זה, משום ש-15 אינו סכום של שני ריבועים).

על ידי בחינת הערכים האפשריים של <math>m,n</math> מודולו מספר קבוע <math>k</math>, אפשר להסיק אלה שאריות יכולה לקבל שלשה פרימיטיבית בחלוקה ל-<math>k</math>. לדוגמה, אחד מבין המספרים <math>a,b</math> מתחלק ב-4 והשני אי-זוגי; גם <math>c</math> אי-זוגי; בפרט, מספר הנותן שארית 2 בחלוקה ל-4 אינו יכול להופיע בשלשה פיתגורית פרימיטיבית. בדומה לזה, בדיוק אחד משני המספרים <math>a,b</math> מתחלק ב-3, ובדיוק אחד מבין השלושה מתחלק ב-5.

מאחר ש-<math>c</math> הוא סכום של שני ריבועים (זרים זה לזה), כל גורם ראשוני שלו הוא מהצורה <math>4k+1</math>.

כל מספר טבעי שאינו נותן שארית 2 בחלוקה ל-4 יכול להופיע בתפקיד <math>b</math> בשלשה פרימיטיבית. מספר השלשות הפרימיטיביות (עם <math>a>0</math>) שבהן <math>b</math> מופיע שווה ל-<math>2^{s-1}</math>, כאשר <math>s</math> הוא מספר הגורמים הראשוניים השונים של <math>b</math>.

כאשר <math>m,n</math> בנוסחה שבראש פרק זה הם מספרי פל עוקבים, ההפרש בין <math>a,b</math> בשלשה המתקבלת הוא 1.^[1]

העץ הטרנארי של השלשות הפיתגוריות עריכה

אם <math>(a,b,c)</math> שלשה פיתגורית, אזי המספרים

<math>\begin{align}n_1&=c-b\\n_2&=c-a\\n_3&=a+b-c\end{align}</math>

מקיימים את היחס <math>n_3^2=2n_1n_2</math>; ולהפך, אם <math>(n_1,n_2,n_3)</math> מקיימים את היחס הזה, ניתן לבנות מהם שלשה פיתגורית באמצעות הטרנספורמציה ההפוכה:

<math>\begin{align}a&=n_1+n_3\\b&=n_2+n_3\\c&=n_1+n_2+n_3\end{align}</math>

במילים אחרות, אם מגדירים

אזי <math>T</math> מעבירה את היריעה <math>\bigl\{(a,b,c):a^2+b^2=c^2\bigr\}</math> ליריעה <math>\bigl\{(n_1,n_2,n_3):n_3^2=2n_1n_2\bigr\}</math>.

היתרון הוא, כמובן, שאת המשוואה השנייה קל יותר לפתור (במספרים שלמים). השלשה <math>(a,b,c)</math> פרימיטיבית אם ורק אם <math>n_1,n_2</math> זרים.

משפט רוברטס עריכה

משפט: הווקטור <math>(a\,\,b\,\,c)</math> מהווה שלשה פרימיטיבית אם ורק אם <math>(a\,\,b\,\,c)=M\cdot(3\,\,4\,\,5)</math>, כאשר <math>M</math> מכפלת מספר סופי של מטריצות מבין:

<math>T_1=\begin{bmatrix}1&2&2\\-2&-1&-2\\2&2&3\end{bmatrix},\quad T_2=\begin{bmatrix}-1&-2&-2\\2&1&2\\2&2&3\end{bmatrix},\quad T_3=\begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{bmatrix}</math>

יצוג השלשות כעץ טרנארי: בדרך זו, ניתן להציג את כל השלשות הפרימיטיביות בעץ טרנארי, עץ שבו לכל קודקוד יש בדיוק שלושה בנים. שורש העץ יהיה השלשה <math>(a\,\,b\,\,c)</math>. לכל שלשה <math>P=(a\,\,b\,\,c)</math> יהיו שלושה בנים:

רעיון ההוכחה: לכל שלושה מספרים טבעיים המהווים שלשה פיתגורית <math>P=(a\,\,b\,\,c)</math> נגדיר את השלשות המסומנות המתקבלות ממנה:

נגדיר את ה'תאום' של שלשה המתאימה ל-<math>(n_1,n_2,n_3)</math> השלשה המתקבלת מהחלפת <math>n_3</math> ב-<math>-n_3</math>. יהיו <math>P_1',P_2',P_3'</math> תאומי <math>n_1,n_2,n_3</math> של <math>P_1,P_2,P_3</math> בהתאמה. מניתוח התהליך ניתן להסיק כי <math>P_1',P_2',P_3'</math> הן שלשות פיתגוריות של מספרים טבעיים וכי לכל <math>i=1,2,3</math> מתקיים <math>P_i'=P\cdot T_i</math>. כדי להוכיח את הכיוון ההפוך מוצאים לכל שלשה פיתגורית (לא מסומנת) <math>P=(a\,\,b\,\,c)</math> את התאום שלה <math>P'=(a'\,\,b'\,\,c')</math> ומבצעים תהליך דומה.

שלשות פיתגוריות מיוחדות עריכה

פייר דה פרמה מצא שלשה פיתגורית <math>(a,b,c)</math> כאשר <math>a+b,c</math> ניתנים להצגה כריבוע של מספר טבעי:

<math>\begin{align}a&=4565486027761\\b&=1061652293520\\a+b&=2372159^2\\c&=2165017^2\end{align}</math>

בנוסף, פרמה הוכיח בנסיגה אינסופית כי לא ייתכנו שלשות פיתגוריות בהן <math>a,b</math> הם ריבועים של מספרים שלמים. משפט זה שקול למשפט האחרון של פרמה במקרה הפרטי <math>n=4</math>.

קיימות שלשות פיתגוריות שונות עם אותו ערך של המכפלה <math>ab</math>. למשל, בשלשות

מתקיים <math>ab=1680</math>. לא ידוע האם קיימות שלשות עבורן <math>abc</math> זהה.

קיימות אינסוף שלשות פיתגוריות שבהן <math>a,b</math> הם מספרים עוקבים. ארבע השלשות הראשונות מסוג זה הן

מאחר ש-<math>c</math> הוא סכום של שני ריבועים עוקבים, המשוואה המתאימה לכך היא <math>a^2+(a+1)^2=c^2</math>, כלומר <math>2a^2+2a+1=c^2</math>. לאחר הכפלה ב-2 והעברת אגפים תתקבל המשוואה <math>(2a+1)^2-2c^2=-1</math>. זוהי משוואת פל שפתרונותיה ידועים. לאחר הוספת הביטוי <math>2c^2</math> לשני האגפים והוצאת שורש ריבועי, מתקבלת האפשרות לבודד את <math>a</math> ולהגיע למשוואה <math>a=\frac{\sqrt{2c^2-1}-1}{2}</math>. מכאן ניתן לגלות את הנוסחאות הכלליות ל-<math>a,b,c</math> בשלשות פיתגוריות שבהן <math>a,b</math> עוקבים:

<math>\begin{align}a_n&=\frac{(1+\sqrt2)^{2n+1}+(1-\sqrt2)^{2n+1}-2}{4}\\b_n&=\frac{(1+\sqrt2)^{2n+1}+(1-\sqrt2)^{2n+1}+2}{4}\\c_n&=\frac{(1+\sqrt2)^{2n+1}-(1-\sqrt2)^{2n+1}}{2\sqrt2}\end{align}</math>

הכללות עריכה

הכללה מפורסמת של בעיה זו היא המשפט האחרון של פרמה הקובע שאין פתרון במספרים טבעיים למשוואה <math>\ a^n+b^n=c^n</math> עבור חזקות הגדולות מ-2.
משוואת לז'נדר: לאלה מספרים טבעיים <math>u,v,w</math> יש פתרון במספרים טבעיים למשוואה <math>ux^2+vy^2=wz^2</math>? עבור <math>u=v=w</math> הפתרונות הם כמובן שלשות פיתגוריות.