ריבוע הקסם של פרוידנטל
פעולות נוספות
ריבוע הקסם של פרוידנטל הוא תבנית המארגנת בניה אחידה של כמה אלגברות לי, חלקן ספורדיות. הריבוע נקרא על-שם הנס פרוידנטל שפיתח את הבניה במקביל לז'אק טיץ. ריבוע הקסם מתאים לזוג אלגברות הרכב מעל הממשיים אלגברת לי, שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מוצג בריבוע, כדלקמן:
| <math>\ \mathbb{O}</math> | <math>\ \mathbb{H}</math> | <math>\ \mathbb{C}</math> | <math>\ \mathbb{R}</math> | |
|---|---|---|---|---|
| <math>\ F_4</math> | <math>\ C_3</math> | <math>\ A_2</math> | <math>\ A_1</math> | <math>\ \mathbb{R}</math> |
| <math>\ E_6</math> | <math>\ A_5</math> | <math>\ A_2\!\oplus\!A_2</math> | <math>\ A_2</math> | <math>\ \mathbb{C}</math> |
| <math>\ E_7</math> | <math>\ A_6</math> | <math>\ A_5\quad </math> | <math>\ C_3</math> | <math>\ \mathbb{H}</math> |
| <math>\ E_8</math> | <math>\ E_7</math> | <math>\ E_6\quad </math> | <math>\ F_4</math> | <math>\ \mathbb{O}</math> |
השורה האחרונה בריבוע כוללת את כל האלגברות הספורדיות, למעט <math>\ G_2</math>, ומדגימה עד כמה קשורות האלגברות הספורדיות לאלגברת האוקטוניונים (<math>\ G_2</math> עצמה היא אלגברת הנגזרות של אלגברת האוקטוניונים).
בניית טיץ עריכה
כידוע, יש בדיוק ארבע אלגברות הרכב עם יחידה, ללא מחלקי אפס, מעל הממשיים: שדה הממשיים עצמו, <math>\ \mathbb{R}</math>, שדה המספרים המרוכבים <math>\ \mathbb{C}</math>, אלגברת הקווטרניונים של המילטון <math>\ \mathbb{H}</math> ואלגברת האוקטוניונים <math>\ \mathbb{O}</math>. תיאור דומה נכון מעל כל שדה: פרט לשדה עצמו, אפשר למנות את ההרחבות הריבועיות הספרביליות, את אלגברות הקווטרניונים, ואת אלגברות קיילי. על אלגברות אלה מוגדרת אינוולוציה סטנדרטית <math>\ x\mapsto \bar{x}</math>, שאפשר להמשיך אותה גם לאלגברות של מטריצות מעליהן. ההעתקה <math>\ t(a)=a+\bar{a}</math> מ-A לשדה הסקלרים נקראת העתקת העקבה.
נניח שהמאפיין זר ל-6, ותהיינה A,B אלגברות מהנזכרות מעלה. נסמן ב- J את אלגברת ז'ורדן של כל המטריצות ההרמיטיות מסדר 3 מעל B (אם B מממד 8, זוהי אלגברת אלברט). נסמן ב- <math>\ A_0</math> וב-<math>\ J_0</math> את אוסף האיברים בעלי עקבה 0 ב-A וב-J, בהתאמה. בניית טיץ של A ו-B מחזירה את המרחב הווקטורי <math>\ \operatorname{Der}A \oplus A_0 \otimes J_0 \oplus \operatorname{Der}J</math>, כאשר <math>\ \operatorname{Der}A</math> היא אלגברת הנגזרות (וכך גם ל-J), עם פעולת כפל <math>\ [\cdot,\cdot]</math> ההופכת אותו לאלגברת לי, ומוגדרת כך ששני מרכיבי הנגזרות הם תת-אלגברות המתחלפות זו עם זו, ופועלות באופן טבעי על המרכיב הנותר: <math>\ [a\otimes x,D+E] = D(a)\otimes E(x)</math> כאשר <math>\ a\in A_0, x \in J_0, D \in \operatorname{Der}A, E \in \operatorname{Der}J</math>. פעולת הכפל בין אברי המכפלה הטנזורית מסובכת יותר: <math>\ [a\otimes x,b\otimes y] = \frac{1}{12}\operatorname{tr}(xy)D_{a,b} + (ab)\otimes(xy) + \frac{1}{2}t(ab)[R_x,R_y]</math>, כאשר <math>\ D_{a,b} = R_{[x,y]}-L_{[x,y]}-3[L_x,R_y]</math>.
אם A היא מן הטיפוס המציין שורה ו-B מן הטיפוס המציין עמודה, התוצאה היא אלגברת לי פשוטה (או, במקרה אחד, פשוטה למחצה), שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מצוין בריבוע הקסם.
מקורות עריכה
- Encyclopaedia of Mathematical Sciences 57, Algebra VI, Part II, E.N.Kuzmin and I.P.Shestakov, sec 3.3.