קואורדינטות גליליות פרבוליות
פעולות נוספות
| מערכות צירים וקואורדינטות |
| מערכות צירים נפוצות |
| ראו גם |
במתמטיקה, קואורדינטות גליליות פרבוליות היא מערכת קואורדינטות תלת־ממדית אשר מאפיינת כל נקודה על ידי מפגש שתי פרבולות ומישור המגדיר את ערך הגובה. הקואורדינטות הללו הם בעצם הכללה של קואורדינטות פרבוליות עבור המרחב האוקלידי <math>\ \mathbb{R}^3</math>.
הגדרה בסיסית עריכה
מערכת הקואורדינטות הגליליות פרבוליות (σ, τ, z) מוגדרת על פי מערכת צירים הקרטזית (x, y, z) על ידי:
- <math>\begin{align}
x &= \sigma \tau \\ y &= \frac{1}{2} \left( \tau^2 - \sigma^2 \right) \\ z &= z \end{align}</math>
כאשר z הוא כמו במערכת צירים קרטזית, σ מגדיר את המקדם של הפרבולה הראשונה:
- <math>
2 y = \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 </math> ו-τ מגדיר את הפרבולה השנייה:
- <math>
2 y = -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2 </math>
מכאן אפשר להגדיר את המרחק מראשית הצירים כמו במערכת צירים קרטזית:
- <math>
r = \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{2} \left( \sigma^2 + \tau^2 \right) </math> במרחק הזה משתמשים לפתרון משוואת המילטון-יעקובי עבור כוח מרכזי בקואורדינטות גליליות פרבוליות.
ניתן גם להגדיר את הקואורדינטות על פי קואורדינטות גליליות, (ρ, φ, z), בדרך הבאה:
- <math>\begin{align}
\rho\cos\varphi &= \sigma \tau\\ \rho\sin\varphi &= \frac{1}{2} \left( \tau^2 - \sigma^2 \right) \\ z &= z \end{align}</math>
וקטורי יחידה בקואורדינטות גליליות פרבוליות עריכה
וקטורי היחידה של קואורדינטות גליליות פרבוליות, מיוצגים על ידי וקטורי יחידה של מערכת צירים קרטזית בדרך הבאה:
- <math>\begin{align}
\boldsymbol{\hat{\sigma}} &= \frac{\tau \hat{\mathbf x} - \sigma \hat{\mathbf y}}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}} \\ \boldsymbol{\hat{\tau}} &= \frac{\sigma \hat{\mathbf x} + \tau \hat{\mathbf y}}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}} \\ \mathbf{\hat{z}} &= \mathbf{\hat{z}} \end{align}</math>
קישורים חיצוניים עריכה
- קואורדינטות גליליות פרבוליות, באתר MathWorld (באנגלית)