פוטנציאל מעוכב

באלקטרודינמיקה, פוטנציאלים מעוכבים (retarded potentials) הם פוטנציאלים אלקטרומגנטיים בשדה אלקטרומגנטי שנוצר על ידי זרם חשמלי משתנה בזמן או צפיפות מטען משתנה בזמן - בעבר.

השדות מתפשטים במהירות האור c, ולכן ההשהיה של השדות המחברים סיבה ותוצאה בזמנים מוקדמים ומאוחרים הוא גורם חשוב: לאות לוקח זמן סופי להתפשט מנקודה בתוך התפלגות המטען או הזרם (נקודת ה"סיבה") לנקודה אחרת במרחב (שם ההשפעה נמדדת), ראו איור למטה.

בכיול לורנץ

קובץ:Universal charge distribution.svg

מיקום הווקטורים r ו- r ′ המשמשים בחישוב.

נקודת המוצא היא משוואות מקסוול בגישת שדה הפוטנציאל שלהן, בעזרת כיול לורנץ:

<math> \Box \varphi = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \,,\quad \Box \mathbf{A} = \mu_0\mathbf{J}</math>

כאשר φ( r, t ) הוא הפוטנציאל החשמלי ו- A ( r, t ) הוא הפוטנציאל הווקטורי המגנטי, עבור מקור שרירותי של צפיפות המטען ρ( r, t ) וצפיפות הזרם J ( r, t ), וכן <math>\Box</math> הוא הד'אלמבריאן. פתרון משוואות אלו נותן את הפוטנציאלים המעוכבים למטה (כולם ביחידות SI).

עבור שדות תלויי זמן

עבור שדות תלויי זמן, הפוטנציאלים המעוכבים הם:

<math> \mathrm\varphi (\mathbf r, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho (\mathbf r', t_r)}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\, \mathrm{d}^3\mathbf r'</math>

<math>\mathbf A (\mathbf r, t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf J (\mathbf r', t_r)}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\, \mathrm{d}^3\mathbf r'\,.</math>

כאשר r הוא נקודה במרחב, t הוא הזמן, ו-

<math>t_r = t-\frac{|\mathbf r - \mathbf r'|}{c}</math>

הוא הזמן המעוכב, ו-<math>d^3\mathbf{r'}</math> הוא גורם האינטגרציה לפי <math>\mathbf{r'}</math> .

מ-φ( r, t) ו- A ( r, t ), ניתן לחשב את השדות E ( r, t ) ו- B ( r, t ) באמצעות הגדרת הפוטנציאלים:

<math>-\mathbf{E} = \nabla\varphi +\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\,,\quad \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf A\,.</math>

השוואה לפוטנציאלים סטטיים עבור שדות בלתי-תלויים בזמן

במקרה שהשדות אינם תלויי זמן (שדות אלקטרוסטטיים ומגנטוסטטיים), נגזרות הזמן של האופרטור <math>\Box</math> מתאפסות, והמשוואות של מקסוול מצטמצמות ל:

<math> \nabla^2 \varphi =-\dfrac{\rho}{\epsilon_0}\,,\quad \nabla^2 \mathbf{A} =- \mu_0 \mathbf{J}\,,</math>

כאשר <math>\nabla^2</math> הוא הלפלסיאן.

המשוואות מקבלות צורה של משוואות פואסון בארבעה רכיבים (אחד עבור φ ושלושה עבור A), והפתרונות שלהן הם:

<math> \mathrm\varphi (\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho (\mathbf r' )}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\, \mathrm{d}^3\mathbf r'</math>

<math>\mathbf A (\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf J (\mathbf r' )}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\, \mathrm{d}^3\mathbf r'\,.</math>

אלה גם נובעים ישירות מהפוטנציאלים המעוכבים.

פוטנציאל ליאנארד-ויקרט

במקרה הפרטי שבו השדה החשמלי נגרם עקב מטען נקודתי בודד שמסלולו <math>\mathbf{r_s}(t)</math>, הפוטנציאלים המעוכבים המתקבלים בכיול לורנץ הם פוטנציאלי ליאנארד-ויקרט, על שמם של אלפרד-מארי לינארד ואמיל ויקרט. פוטנציאלים אלו הם:

<math>\varphi(\mathbf{r},t)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q}{(1-\mathbf{n}_s\cdot\mathbf{\beta}_s)|\mathbf{r}-\mathbf{r}_s|}\right)_{t_r}</math>

<math>\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\frac{\mu_0c}{4\pi}\left(\frac{q\mathbf{\beta}_s}{(1-\mathbf{n}_s\cdot\mathbf{\beta}_s)|\mathbf{r}-\mathbf{r}_s|}\right)_{t_r}</math>

זאת כאשר:

• <math>\mathbf{\beta}_s=\frac{1}{c}\frac{d\mathbf{r}_s}{dt}</math> היא מהירות המטען המנורמלת למהירות האור
• <math>|\mathbf{r}-\mathbf{r}_s|</math> הוא המרחק בין נקודת המדידה של הפוטנציאל לבין מיקום המקור
• <math>\mathbf{n}_s=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_s}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_s|}</math> הוא וקטור היחידה המקשר מהמקור אל נקודת המדידה
• הסימן <math>(...)_{t_r}</math> משמעותו חישוב הערך שבתוך הסוגריים בזמן המעוכב <math>t_r=t-\frac{1}{c}|\mathbf{r}-\mathbf{r}_s|</math>

נשים לב שכדי למצוא את הזמן המעוכב עלינו לפתור את המשוואה:

<math>|\mathbf{r}-\mathbf{r}_s(t_r)|=c(t-t_r)</math>

בכיול קולון

בכיול קולון, משוואות מקסוול הן

<math> \nabla^2 \varphi =-\dfrac{\rho}{\epsilon_0}</math>

<math> \nabla^2 \mathbf{A} - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2}=- \mu_0 \mathbf{J} +\dfrac{1}{c^2}\nabla\left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial t}\right)\,,</math>

הפתרונות המתקבלים בכיול זה שונים מהפתרונות המתקבלים בכיול לורנץ מכיוון ש-A הוא פוטנציאל מעוכב אך φ משתנה באופן מיידי, לפי:

<math>\varphi(\mathbf{r}, t) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \dfrac{\rho(\mathbf{r}',t)}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\mathrm{d}^3\mathbf{r}'</math>

<math> \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \nabla\times\int \mathrm{d}^3\mathbf{r'} \int_0^{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|/c} \mathrm{d}t_r \dfrac{ t_r \mathbf{J}(\mathbf{r'}, t-t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\times (\mathbf{r}-\mathbf{r}') \,.</math>

התוצאה מציגה יתרון וחיסרון של כיול קולון: φ ניתן לחישוב בקלות מהתפלגות המטען ρ אך לא ניתן לחשב את A מההתפלגות הנוכחית j. עם זאת, בתנאי שאנו דורשים שהפוטנציאלים יתאפסו באינסוף, הם יכולים לבוא לידי ביטוי בצורה מסודרת במונחים של השדות:

<math>\varphi(\mathbf{r}, t) = \dfrac{1}{4\pi}\int \dfrac{\nabla \cdot \mathbf{E}({r}',t)}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\mathrm{d}^3\mathbf{r}'</math>

<math> \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \dfrac{1}{4\pi}\int \dfrac{\nabla \times \mathbf{B}({r}',t)}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\mathrm{d}^3\mathbf{r}'</math>

בכבידה ליניארית

הפוטנציאל המעוכב בגרסה הליניארית של תורת היחסות הכללית דומה מאוד למקרה האלקטרומגנטי. הטנזור בעל העקבה ההפוכה <math>\tilde h_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac12 \eta_{\mu\nu} h</math> ממלא את התפקיד של פוטנציאל ארבעת הווקטורים, הכיול ההרמוני <math>\tilde h^{\mu\nu}{}_{,\mu} = 0</math> מחליף את כיול לורנץ האלקטרומגנטי, משוואות השדה הן <math>\Box \tilde h_{\mu\nu} = -16\pi G T_{\mu\nu}</math>, ופתרון הגל המעוכב הוא:

<math>\tilde h_{\mu\nu}(\mathbf r, t) = 4 G \int \frac{T_{\mu\nu}(\mathbf r', t_r)}{|\mathbf r - \mathbf r'|} \mathrm d^3 \mathbf r'</math>.

ראו גם

• משוואות מקסוול
• זמן מאוחר
• חוק לנץ