מופע

קובץ:Simple harmonic motion.svg

תנועה הרמונית פשוטה; A המשרעת T המחזור

מופע (או פאזה) הוא מושג שמתאר את מצבה הרגעי של תופעה מחזורית.

המופע משמש לתיאור תופעות בתחומי מדע רבים: אופטיקה, אלקטרומגנטיות, הנדסת חשמל, אקוסטיקה, מכניקה ועוד. תופעות מחזוריות מתוארות לרוב באמצעות גלים. המופע הוא המקום במחזור שבו הגל נמצא במצב מסוים.

תיאור מתמטי

התופעה המחזורית הפשוטה ביותר היא מתנד הרמוני פשוט, והיא מתוארת על ידי גל סינוסואידי בנקודה קבועה במרחב. ניתן לייצג כל פונקציה מחזורית כסכום של גלים סינוסואידיים באמצעות טור פורייה. התיאור המתמטי של גל סינוסואידי כתלות בזמן הוא: <math>x(t) = A\sin(2 \pi f t + \phi)\,</math>

כאשר <math>A\,</math> היא משרעת התנודות, <math>t\,</math> הוא הזמן, ו-<math>f\,</math> תדירות התנודות (ההופכי שלה הוא זמן המחזור: <math>T=1/f</math>). הזווית שעליה מופעלת פונקציית הסינוס, <math>2 \pi f t + \phi\,</math>, מודולו <math>2\pi</math>, נקראת המופע והיא נמדדת במעלות או ברדיאנים. המחזור של פונקציית הסינוס הוא <math>2\pi</math>, ולכן היחס בין המופע לבין <math>2\pi</math> הוא החלק היחסי של המחזור בו נמצא הסינוס.

<math>\phi</math> הוא המופע ההתחלתי – המופע בזמן t=0, והוא נקבע באופן יחיד על ידי <math>\! x(t=0)</math>. המופע ההתחלתי אנלוגי לזווית ההתחלתית בתנועה מעגלית קצובה. במסה המחוברת לקפיץ, למשל, המופע ההתחלתי נקבע על ידי ההעתק ההתחלתי של המסה.

המופע ההתחלתי שקול להשהייה בזמן של הגל <math>x(t) = A\sin(2 \pi f t)\,</math>:

<math>x(t - \begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}T) = A\sin(2 \pi f (t - \begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}T)) = A\sin(2 \pi f t - \begin{matrix}\frac{\pi }{2} \end{matrix})\,</math>

כלומר מופע התחלתי של <math>-\frac{\pi}{2}=-\frac{2 \pi}{4}</math> שקול להשהייה ברבע זמן מחזור.

הפרש מופע

קובץ:Phase shift.svg

קובץ:Sine waves same phase.svg

גלים עם מופע התחלתי זהה – גלים בפאזה

קובץ:Sine waves different phase.svg

גלים בעלי הפרשי מופע – גלים שאינם בפאזה

הפרש המופע של שני גלים סינוסואידיים בעלי אותה תדירות הוא ההפרש בין המופעים ההתחלתיים שלהם, או ההפרש בין הזויות שבהן שתי הפונקציות מקבלות את אותו הערך ואת אותו השיפוע.

שני גלים הם בפאזה אם הפרש המופע שלהם הוא אפס ובאנטי-פאזה אם הפרש המופע שלהם הוא 180 מעלות. מזהויות טריגונומטריות נובע שהסכום של שני גלים סינוסואידיים בעלי אותה משרעת ותדירות ובעלי הפרש מופע הוא גל סינוסואידי באותה התדירות, שהמשרעת והמופע ההתחלתי שלו נקבעים על ידי הפרש המופע בלבד:

<math>A\sin(2 \pi f t + \phi_1) + A\sin(2 \pi f t + \phi_2) = 2A \cos(\frac{\phi_2-\phi_1}{2})\sin(2 \pi f t + \frac{\phi_1+\phi_2}{2})</math>

ניתן לראות שהתאבכות בונה מתרחשת כאשר הגלים הם בפאזה – במקרה כזה המשרעת של הסכום היא פעמיים המשרעת A. התאבכות הורסת מתרחשת כאשר הגלים הם באנטי-פאזה, ובמקרה כזה המשרעת של הסכום היא אפס.

קוהרנטיות מופע

קוהרנטיות היא תכונה של גלים השומרים על הפרש מופע מוגדר ביניהם לאורך זמן. לשם כך על הגלים להיות בעלי אותה התדירות בדיוק. באופטיקה למשל הגדרת מקור קוהרנטי בזמן הוא מקור אשר מקרין גלים שכולם באותה תדירות ובאותו מופע התחלתי או שהפרש המופע ביניהם קבוע. זאת בניגוד למקור לא קוהרנטי שבו הפרש המופע בין הגלים הוא אקראי.

ראו גם

• גל
• קוהרנטיות
• התאבכות
• רעש מופע

קישורים חיצוניים

• מופע, באתר MathWorld (באנגלית)