משפט שקילות המחוגות
פעולות נוספות
בגאומטריה אוקלידית, משפט שקילות המחוגות הוא משפט הקובע שניתן "להעתיק" מעגלים באמצעות מחוגה לכל מקום במישור האוקלידי.
המשפט משמש ככלי בסיסי בבנייה בסרגל ומחוגה ומהווה שלב ראשון בהוכחת משפט מור-מסקרוני.
המשפט הוכח לראשונה על-ידי אוקלידס ומופיע כמשפט השני מתוך ספרו יסודות.
המשפט עריכה
הנוסח של אוקלידס עריכה
המשפט השני מהספר יסודות גורס כי:[1]
[ניתן] לבנות קטע ישר השווה לקטע נתון בנקודה נתונה.
— "יסודות" מאת אוקלידס
נוסח מודרני עריכה
מחוגה כלשהי תקרא מחוגה אוקלידית אם ורק אם לכל שתי נקודות <math>A</math> ו-<math>B</math> ניתן לסרטט באמצעותה את המעגל שמרכזו ב-<math>A</math> ועובר דרך <math>B</math> (נסמן מעגל זה ב-<math>\bigcirc_A(B)</math>).
מחוגה כלשהי תקרא מחוגה מודרנית אם ורק אם לכל שלוש נקודות <math>A</math>, <math>B</math> ו-<math>C</math>, אפשר לצייר מעגל שמרכזו ב-<math>A</math> ורדיוסו שווה למרחק <math>BC</math> (נסמן מעגל זה ב-<math>\bigcirc_A(r)</math> כאשר <math>r:=BC</math>).
ניתן לחשוב על מחוגה אוקלידית כמחוגה ש"קורסת" בכל פעם אחרי שמשתמשים בה, כך שלא ניתן "לשחזר" את הרדיוס לאחר סרטוט המעגל, זאת בניגוד למחוגה המודרנית שאפשר "לנעול" במרחק מסוים ולהעתיק את הרדיוס למקום אחר במישור.
משפט שקילות המחוגות קובע ששתי המחוגות שקולות. כלומר, כל מעגל שניתן לסרטט באמצעות האחת, ניתן לסרטט באמצעות השנייה.[2]
הוכחה עריכה
ניתן לראות כי כל מחוגה מודרנית היא מחוגה אוקלידית על-ידי קביעת <math>A=C</math>. נותר להוכיח כי כל מחוגה אוקלידית היא מחוגה מודרנית. נספק שתי הוכחות שונות לטענה זו.
מבנה ההוכחות עריכה
- בהינתן <math>BC=r</math> נרצה לשרטט מעגל שמרכזו <math>A</math> ורדיוסו <math>r</math>. נשים לב שאין הגבלה על אורך וכיוון הקטע בין <math>B</math> ל-<math>A</math> ולכן אפשר להגיע כך לכל נקודה על המישור.
- נציג אלגוריתם כיצד לשרטט מעגל שמרכזו <math>A</math> והרדיוס שלו הוא <math>r</math> (זה יהיה המעגל <math>\bigcirc_A(F)</math> בהוכחה של אוקלידס ו-<math>\bigcirc_A(E)</math> בהוכחה רק עם מחוגה).
- נוכיח שהוא אכן מקיים את הנדרש, ורדיוס המעגל שווה ל-<math>r</math> (נעשה זאת באמצעות משפטים בגאומטריה אוקלידית).
ההוכחה של אוקלידס עריכה
הוכחתו של אוקלידס אינה נחשבת הוכחה ריגורוזית דיה במונחים של מתמטיקה מודרנית, שכן המונחים שבהם אוקלידס משתמש עלולים להיות אמורפיים. מסיבה זו, הוכחתו של אוקלידס נתונה לפרשנות. נציג כאן פרשנות אחת להוכחתו של אוקלידס.
- מסרטטים את המעגלים <math>\bigcirc_A(B)</math> ו-<math>\bigcirc_B(A)</math>.
- שני מעגלים אלו נחתכים בשתי נקודות. מסמנים אחת מהן ב-<math>D</math>. ניתן להוכיח שהמשולש <math>\triangle DAB</math> הוא משולש שווה-צלעות
- מסרטטים את המעגל <math>\bigcirc_B(C)</math> ומעבירים באמצעות הסרגל את הישר <math>\overrightarrow{DB}</math>.
- המעגל והישר נחתכים בשתי נקודות. מסמנים את אחת הנקודות הללו ב-<math>E</math> (בסרטוט נבחרה הנקודה הרחוקה, אך ההוכחה תקפה גם אם בוחרים את הנקודה הקרובה).
- מסרטטים את המעגל <math>\bigcirc_D(E)</math> ומעבירים באמצעות הסרגל את הישר <math>\overrightarrow{DA}</math>.
- המעגל והישר נחתכים בשתי נקודות. מבין שתי הנקודות, מסמנים את הנקודה שנמצאת באותו הצד של <math>A</math> ב-<math>F</math>.
- מסרטטים את המעגל <math>\bigcirc_A(F)</math>.
הנקודות <math>E</math> ו-<math>F</math> נמצאות שתיהן על אותו מעגל שמרכזו ב-<math>D</math>, לכן <math>DE=DF</math>. משום ש-<math>\triangle DAB</math> הוא משולש שווה-צלעות, <math>DA=DB</math>. על ידי חיסור קטעים מקבלים ש-<math>AF=BE</math>. משום ש-<math>E</math> ו-<math>C</math> נמצאים על אותו מעגל שמרכזו ב-<math>B</math> מקבלים ש-<math>BE=BC=r</math>, לכן <math>AF=r</math>.
מכל זה <math>\bigcirc_A(F)=\bigcirc_A(r)</math>, כנדרש.
מ.ש.ל.
הוכחה באמצעות מחוגה בלבד עריכה
ניתן להוכיח שמחוגה אוקלידית שקולה למחוגה מודרנית ללא שימוש בסרגל כלל:[3]
- מסרטטים את המעגלים <math>\bigcirc_A(B)</math> ו-<math>\bigcirc_B(A)</math>.
- שני מעגלים אלו נחתכים בשתי נקודות. מסמנים אותן ב-<math>D</math> וב-<math>D'</math>.
- מסרטטים את המעגלים <math>\bigcirc_D(C)</math> ו-<math>\bigcirc_{D'}(C)</math>.
- שני מעגלים אלו נחתכים בשתי נקודות כאשר אחת מאותן נקודות היא <math>C</math>. מסמנים את הנקודה השנייה ב-<math>E</math>.
- מסרטטים את המעגל <math>\bigcirc_A(E)</math>.
המרובע <math>\square ADBD'</math> הוא מעוין (מכיוון שהוא נוצר מחיתוך מעגלים בעלי רדיוס שווה וממרכזם), לכן האלכסונים שלו חוצים את הזוויות שלו. בשל כך <math>\angle ADD'=\angle BDD'</math>. בנוסף, המרובע <math>\square EDCD'</math> הוא דלתון (מכיוון שהוא נוצר מחיתוך מעגלים), ולכן האלכסון הראשי שלו <math>DD'</math> חוצה את זוויות הראש שלו. בשל כך <math>\angle EDD'=\angle CDD'</math>. מחיסור זוויות שוות מקבלים ש-<math>\angle EDA=\angle CDB</math>.
כעת, <math>DE=DC</math> מכיוון שהנקודות <math>C</math> ו-<math>E</math> נמצאות שתיהן על אותו מעגל שמרכזו ב-<math>D</math>. כמו כן, <math>DA=DB</math>. מנתונים אלו, על-ידי שימוש בכלל צלע-זווית-צלע, המשולשים <math>\triangle EDA</math> ו-<math>\triangle CDB</math> חופפים (<math>\triangle EDA \cong \triangle CDB</math>). לכן בהכרח <math>AE=BC=r</math>.
מכל זה <math>\bigcirc_A(E)=\bigcirc_A(r)</math>, כנדרש.
מ.ש.ל.
חשיבות המשפט עריכה
בנייה בסרגל ומחוגה עריכה
- קובץ:Postscript-viewer-blue.svg ערך מורחב – בנייה בסרגל ובמחוגה
למשפט שקילות המחוגות חשיבות רבה בתחום של בנייה בסרגל ומחוגה. הוא מוכיח שניתן להעתיק ולסובב קטעים במישור מבלי לחשוש מאיבוד מידע על אורך הקטע. עבור היוונים העתיקים, הייתה למשפט זה חשיבות רבה כי הוא נתן משנה תוקף לטענות על שוויון קטעים שאינם חולקים קצה משותף.
משפט מור-מסקרוני עריכה
משפט מור-מסקרוני גורס שכל בנייה גאומטרית שניתן לבנות באמצעות סרגל ומחוגה ניתן לבנות באמצעות מחוגה בלבד.[3] משפט שקילות המחוגות מהווה צעד ראשון וחשוב על-מנת להוכיח את המשפט כולו, שכן הוא מראה שאפשר באמצעות מחוגה בלבד, אפילו אם היא מחוגה אוקלידית, להעתיק קטעים במרחב.
ראו גם עריכה
קישורים חיצוניים עריכה
- קובץ:YouTube full-color icon (2017).svg What was Euclid really doing? | Guest video by Ben Syversen, סרטון העוסק בחשיבותן של דיאגרמות בהוכחות של אוקלידס, אשר דן בין היתר במשפט שקילות המחוגות, סרטון בערוץ "3Blue1Brown", באתר יוטיוב, 18-9-2025
.svg){kind=link}
הערות שוליים עריכה
- ^ Richard Fitzpatrick, Euclid's Elements, Lulu.com, 2007-12-01, עמ' 8-9, ISBN 978-0-615-17984-1. (בEnglish)
- ^ Joel David Hamkins, Lectures on the Philosophy of Mathematics, MIT Press, 2021-02-02, עמ' 122-123, ISBN 978-0-262-36265-8. (בEnglish)
- ^ 1 2 Howard Whitley Eves, Howard Eves, College Geometry, Jones & Bartlett Learning, 1995, עמ' 175-179, ISBN 978-0-86720-475-9. (בEnglish)