משפט קיילי-בכראך

קובץ:9-points theorem.png

תמונה למשפט 9 הנקודות, מקרה פרטי בו גם C₁ וגם C₂ הם איחודים של 3 ישרים

משפט קיילי-בכראך הוא משפט מתמטי לעקומים ממעלה 3 במישור הפרויקטיבי P² . הניסוח המקורי הוא:

נניח ששני עקומים ממעלה 3 C₁ ו- C₂ במישור הפרויקטיבי נפגשים בתשע נקודות (שונות), כפי שהם עושים באופן כללי בשדה סגור אלגברית. אזי שכל עקום ממעלה 3 שעובר דרך כל שמונה מהנקודות עובר גם דרך הנקודה התשיעית.

צורה טבעית יותר של משפט קיילי-בכראך מנוסחת כך:

כל עקום ממעלה 3 מעל שדה סגור אלגברית שעובר דרך קבוצה נתונה של שמונה נקודות P₁, ..., P₈ עובר גם דרך נקודה תשיעית P₉ שתלויה רק ב P₁, ..., P₈ (כולל ריבוי).

תוצאה קשורה על שניוניות הוכחה לראשונה על ידי הגאומטריקן הצרפתי מישל של ולאחר מכן הוכללה לעקומים ממעלה 3 על ידי ארתור קיילי ואיזק בכראך.

יישומים

קובץ:הוכחה למשפט פסקל עם קיילי בכראך.png

ציור של העקומים ממעלה 3 במשפט קיילי בכראך מופרדים ע"פ צבע

מקרה פרטי הוא משפט פסקל, ובמקרה זה שני העקומים מנוונים: בהינתן שש נקודות על שניונית (שיוצרות משושה), נשקול את הקווים המתקבלים על ידי הארכת צלעות נגדיות - נקבל זוג עקומים ממעלה 3 המורכבים משלושה ישרים כל אחד, אשר נחתכים ב-9 נקודות - 6 הנקודות על השניונית, ו-3 נוספות. 3 נקודות אלו נחות על ישר, מכיוון שהשניונית בנוסף לישר העובר דרך שתיים מנקודות אלו הוא עקום שלישי ממעלה 3 העובר דרך 8 מהנקודות.

מקרה פרטי של משפט פסקל הוא משפט המשושה של פפוס. במקרה זה, השניונית היא מכפלה של 2 ישרים, שעליהם נחות הנקודות.

קובץ:הוכחה למשפט מיקל בעזרת קיילי בכראך.png

הוכחה למשפט מיקל בעזרת קיילי בכראך

דוגמה נוספת לשימוש של קיילי בכראך הוא הוכחה של משפט מיקל: שלושת העקומים הם המכפלה של כל מעגל והישר של הצלע שמול הקודקוד שבו הוא עובר, ו-9 נקודות החיתוך הן 3 הקודקודים, 3 נקודות החיתוך של המעגלים על הצלעות, שתי הנקודות המעגליות באינסוף (אנ') ונקודת החיתוך של שלושת המעגלים.

ספירת ממדים

ניזכר תחילה שבהינתן שני עקומים ממעלה d, הם מגדירים עיפרון (מערכת ליניארית בעלת פרמטר אחד) של עקומים ממעלה d על ידי לקיחת צירופים ליניאריים פרויקטיבים של המשוואות המגדירות אותם; זה מתאים לשתי נקודות הקובעות ישר פרויקטיבי במרחב הפרמטרים של העקומים, שהוא פשוט מרחב פרויקטיבי.

משפט קיילי-בכראך נוצר במעלה גבוהה בגלל מספר נקודות החיתוך של שני עקומים ממעלה d, כלומר d² (לפי משפט בזו), גדל מהר יותר ממספר הנקודות הדרושות כדי להגדיר עקום ממעלה d, הניתן על ידי

<math>\frac{(d+1)(d+2)}{2} - 1 = \frac{d^2 + 3d}{2}.</math>

אלה שווים בפעם הראשונה עבור d = 3, וזו הסיבה שמשפט קיילי-בכרך מתרחש עבור עקומים ממעלה 3, ועבור דרגה גבוהה יותר d² גדול יותר, ומכאן ההכללות בדרגה גבוהה יותר.

בפרט, מספר הנקודות הנדרשות לקביעת עקום ממעלה d הוא מספר המונומים ממעלה d, פחות 1 מהפרויקטיביזציה. עבור ערכי ה-d הראשונים נקבל:

• d = 1 : 2 ו-1: שתי נקודות קובעות ישר, שני ישרים נחתכים בנקודה
• d = 2 : 5 ו-4: חמש נקודות קובעות שניונית, שתי שניוניות נחתכות בארבע נקודות
• d = 3 : 9 ו-9: תשע נקודות קובעות עקום ממעלה שלישית, שני עקומים ממעלה שלישית נחתכים בתשע נקודות
• d = 4 14 ו-16

קישורים חיצוניים

• Michel Chasles, Traité des sections coniques, Gauthier-Villars, Paris, 1885.
• Edward D. Davis, Anthony V. Geramita, and Ferruccio Orecchia, Gorenstein algebras and Cayley–Bacharach theorem, Proceedings of the American Mathematical Society 93 (1985), 593–597.
• David Eisenbud, Mark Green, and Joe Harris, Cayley–Bacharach theorems and conjectures, Bulletin of the American Mathematical Society 33 (1996), no. 3, 295—324. תבנית:Mr
• משפט קיילי-בכראך, באתר MathWorld (באנגלית)