משפט פאפוס

נרצה לחשב באמצעות משפט פאפוס את נפח הגוף שיתקבל אם נסובב את האליפסה סביב הישר.

משפט פאפוס הוא משפט בחשבון אינפיניטסימלי הקובע כי אם נסובב צורה דו-ממדית סביב ישר מסוים, נקבל שנפח גוף הסיבוב מתקבל לפי הנוסחה <math> V=2 \pi R_{CM} A </math> כאשר:

<math>

R_{CM} </math> הוא המרחק של מרכז הכובד של הצורה הדו-ממדית מן הישר.

<math>

A</math> הוא שטח הצורה. באמצעות משפט זה ניתן לחשב את נפחם של גופים מורכבים (סימטריים סביב ציר הסיבוב) על ידי מבט על החתך שלהם וסיבובם סביב אחד הצירים (או כל ציר אחר, לפי הנוחות).

יש בנוסף את משפט פאפוס הראשון דן על מציאת שטח הפנים של קו אשר מסובבים סביב ציר.

דוגמה עריכה

נניח שעלינו לחשב את נפח העקומה הבאה: <math> (x-2)^2+4(y-1)^2=1 </math> המסובב סביב הישר <math>y=3x-1</math>. זוהי למעשה טבעת בעלת חתך אליפטי.

ראשית, נרצה למצוא את שטח האליפסה <math>A</math>, אותו נוכל למצוא על ידי הנוסחא לשטח אליפסה - <math>S=ab \pi </math> כאשר <math>a,b</math> הם אורכי הצירים בצורה הקנונית של האליפסה.
במקרה זה אורכי הצירים הם <math>a=1 , b=0.5</math> ולכן שטח האליפסה הוא <math>S=0.5 \pi </math>.
כעת נרצה למצוא את מרכז הכובד של האליפסה. מרכז הכובד של האליפסה יהיה במרכזה, כאן בדוגמה שלנו <math>(2,1)</math>.

נרצה למצוא כעת את המרחק של האליפסה מהישר. זאת נקבל על פי נוסחת מרחק נקודה מישר עבור נקודת המרכז:

<math>d= \frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2} } \rightarrow d=\frac{|3x-y-1|}{\sqrt{1^2+3^2}} \rightarrow

d=\frac{|3 \times 2-1-1|}{\sqrt{10}} \rightarrow

d=\frac{4}{\sqrt{10}} </math>

לסיום, כל מה שנותר לנו הוא להציב את הכל בנוסחא ולקבל:

<math>V=2 \pi \times \frac{1}{ 2} \pi \times \frac{4}{ \sqrt{10} } \rightarrow V= \frac{4}{ \sqrt{10}} \pi ^{2} \rightarrow V \approx 1.265\pi ^{2} </math>

קישורים חיצוניים עריכה

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא [[commons:Category:{{#property:P373}}|משפט פאפוס]] בוויקישיתוף

משפט פאפוס, באתר MathWorld (באנגלית)

קובץ:P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.