משפט מנלאוס

בגאומטריה אוקלידית, משפט מנלאוס נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך ששלוש נקודות על צלעות משולש או המשכיהן תהיינה מונחות על ישר אחד.

קובץ:Menelaos's theorem 1.png

מקרה 1: שתי נקודות על הצלעות ונקודה שלישית בהמשך הצלע השלישית

קובץ:Menelaos's theorem 2.png

מקרה 2: כל הנקודות על המשכי הצלעות

המשפט קובע (לפי הסימונים שבשרטוטים בצד שמאל) שהנקודות D,E,F נמצאות על ישר אחד (בשרטוט - הישר הסגול) אם ורק אם מתקיים: <math>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1</math> (כאשר היחסים מסומנים על-פי הכיוון).

הוכחה

נטיל את שלוש הנקודות לישר המאונך לישר DE; נסמן כל נקודה בהיטל באות של הנקודה המקורית עם תג ('). על-פי משפט תאלס, משפט מנלאוס שאנו רוצים להוכיח שקול לקביעה ש-D' ו-F' מתלכדות אם ורק אם: <math>\frac{A'F'}{F'B'} \cdot \frac{B'D'}{D'C'} \cdot \frac{C'D'}{D'A'} = -1</math>. נוסחה זו שקולה ל <math>\frac{A'F'}{F'B'} \cdot \frac{B'D'}{D'A'} = 1</math>, השקולה ל- <math>\frac{A'F'}{F'B'} = \frac{A'D'}{D'B'}</math>. ברור שהשוויון האחרון מתקיים אם ורק אם D',ו-F' מתלכדות.

ראו גם

• משפט צ'בה

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא [[commons:Category:{{#property:P373}}|משפט מנלאוס]] בוויקישיתוף

• משפט מנלאוס, באתר MathWorld (באנגלית)