משפט לורות

בתורת השדות, משפט לורות (Lüroth's theorem), הנקרא על שם המתמטיקאי יאקוב לורות, קובע כי שדה ביניים של הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1 אף הוא שדה הרחבה טרנסצנדנטי מדרגה 1. לורות הוכיח את הטענה בשנת 1876.

יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה ותהי <math>\mathbb{F}(x)</math> שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה אחד, כלומר הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1. אזי כל שדה ביניים ממש <math>\mathbb{F} \subset K \subseteq \mathbb{F}(x)</math> מהווה אף הוא הרחבה טרנסצנדנטית (מדרגה 1) – קיימת פונקציה רציונלית <math>\frac{p(x)}{q(x)}</math> כך ש-<math>K=\mathbb{F}\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)</math>.

ההוכחה הקלאסית, בעזרת תורת השדות בלבד, משתמשת בלמה של גאוס. הוכחות מודרניות ופשוטות יותר נתונות בעזרת עקומים גאומטריים.

טענה בעלת אופי דומה הוכחה על ידי Hartshorne : אם <math>\mathbb{F}</math> שדה סגור אלגברית ו-<math>\mathbb{F}(x,y)</math> מהווה הרחבה ספרבילית סופית מעל שדה ביניים <math>K</math>, אז <math>K</math> הרחבה טרנסצנדנטית מעל <math>\mathbb{F}</math>. הטענה לא נשארת נכונה כאשר ההרחבה לא ספרבילית, וגם לא ביותר משתנים.

לקריאה נוספת

• להוכחה הקלאסית, ראו Graduate Algebra: Commutative View, Louis Halle Rowen, AMS, p.147-149
• להוכחה מסובכת אך קצרה יותר, ראו Cohn, P. M. (1991), Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Chapman Hall/CRC Mathematics Series 4, CRC Press, p. 148
• להוכחת משפט Hartshorne, ראו Hartshorne, R., Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, Springer, New York, 1993,Remark V.6.2.1

קישורים חיצוניים

• משפט לורות, באתר MathWorld (באנגלית)