משפט לוסטרניק-שנירלמן

בטופולוגיה, משפט לוסטרניק-שנירלמן הוא משפט הקובע ששתי הטענות הבאות נכונות:

• בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות סגורות יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.
• בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות פתוחות יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.

המשפט שוער לראשונה במאמר של לזר לוסטרניק ולב שנירלמן מ-1930. המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם שהוכח ב-1933.

למעשה נכון משפט כללי יותר שמכליל את שתי הגרסאות המקוריות של המשפט:

• בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות, שכל אחת מהן פתוחה או סגורה, יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.

הוכחה

מספיק להוכיח את המשפט ל-<math>S^n</math> שהיא ספירת היחידה ה-n-ממדית (אוסף כל הנקודות ב-<math>\mathbb{R}^{n+1}</math> שמרחקן מהראשית הוא 1).

נוכיח כי המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם הקובע שלכל פונקציה רציפה <math>f: S^n \to \mathbb{R}^n</math> קיימת נקודה <math>x \in S^n</math> כך ש-<math>f(x)=f(-x)</math>.

המקרה הסגור מתוך בורסוק-אולם

במרחב מטרי, המרחק בין נקודה x לקבוצה A, <math>d(x,A)</math>, מוגדר כאינפימום של אוסף המרחקים בין x לכל אחת מנקודות A. לפי הגדרת הסגור, אם <math>d(x,A)=0</math> אז <math>x\in \bar{A}</math>.

יהי <math>F_1,\ldots,F_{n+1}</math> אוסף של n+1 קבוצות סגורות המכסות את <math>S^n</math>. נגדיר פונקציה <math>f: S^n \to \mathbb{R}^n</math> כך:

<math>f(x) = (d(x,F_1),\ldots,d(x,F_n))</math>

<math>f</math> בבירור רציפה ולכן לפי משפט בורסוק-אולם קיים <math>x^* \in S^n</math> כך ש-<math>f(x^*)=f(-x^*)</math>. בפרט אם קיים <math>1\le i\le n</math> כך ש-<math>d(x^*,F_i)=0</math> אז גם <math>d(-x^*,F_i)=0</math>. אולם <math>F_i</math> סגורה ושווה לסגור שלה, ולכן במקרה כזה <math>x^*,-x^*</math> הן זוג נקודות אנטיפודיות הנמצאות ב-<math>F_i</math>.

נותר המקרה בו <math>d(x^*,F_i) = d(-x^*,F_i)\ne 0</math> לכל <math>1\le i\le n</math>. במקרה כזה <math>x^*,-x^*</math> לא נמצאות באף אחת מן הקבוצות <math>F_1,\ldots,F_n</math> (כי מרחקן מכל אחת מהן חיובי) ולכן הן חייבות להימצא יחדיו ב-<math>F_{n+1}</math>.

המקרה הפתוח מתוך המקרה הסגור

יהי <math>U_1,\ldots,U_{n+1}</math> אוסף של n+1 קבוצות פתוחות המכסות את <math>S^n</math>. לכל <math>1\le i \le n+1</math> ולכל <math>x \in U_i</math> נבחר סביבה פתוחה קטנה מספיק <math>V_x</math> כך ש-<math>x \in V_x^i \subseteq \bar{V_x^i} \subseteq U_i</math>. איחוד כל הסביבות <math>V_x^i</math> לכל ה-x וה-i הוא כיסוי פתוח של <math>S^n</math>. הספירה היא קבוצה קומפקטית ולכן יש לכיסוי תת-כיסוי סופי <math>V_1,\ldots,V_m</math>. נאחד את כל הקבוצות <math>\bar{V_j}</math> המוכלות באותה קבוצה <math> U_i</math>. זהו איחוד סופי של קבוצות סגורות ולכן לכל i נקבל קבוצה סגורה <math>F_i \subseteq U_i</math>. קיבלנו כיסוי <math>F_1,\ldots,F_{n+1}</math> של הספירה, ולכן לפי המקרה הסגור קיימים <math>l</math> ונקודה <math>x^*\in S^n</math> כך ש-<math>x^*,-x^* \in F_l \subseteq U_l</math> כפי שרצינו להוכיח.

המקרה הכללי מתוך המקרה הפתוח

יהי <math>A_1,\ldots,A_{n+1}</math> אוסף של n+1 קבוצות סגורות או פתוחות המכסות את <math>S^n</math>. לכל <math>A_i</math> סגורה נגדיר <math>U_i^k = \{x \in S^n \mid d(x,A_i)<\tfrac{1}{k} \}</math>. ולכל <math>A_i</math> פתוחה נגדיר <math>U_i^k=A_i</math>. לכל k, <math>U_1^k,\ldots,U_{n+1}^k</math> כיסוי פתוח של <math>S^n</math>, ולכן לפי הגרסה הפתוחה קיימים <math>l_k</math> וזוג נקודות <math>x_k,-x_k \in U_{l_k}^k</math>. אם ל-k כלשהו <math>A_{l_k}</math> פתוחה סיימנו, כי <math>x_k,-x_k \in U_{l_k}^k=A_{l_k}</math>. לכן נניח שלכל k <math>A_{l_k}</math> סגורה. הסדרה <math>\{l_k\}</math> היא סדרה אינסופית שמקבלת מספר סופי של ערכים (שלמים <math>1\le l_k \le n+1</math>) ולכן יש מספר <math>l</math> שמופיע בה אינסוף פעמים. נסתכל על תת-סדרה מתכנסת של הסדרה <math>(x_k)_k</math> שאיבריה מקיימים <math>l_k = l</math>. נסמן את גבולה <math>x^*</math>. מתקיים <math>d(x^*,A_l) = \lim_{k \to \infty} d(x_k,A_{l_k})=0</math>. ולכן, מכיוון שהנחנו ש-<math>A_l</math> סגורה, מתקיים <math>x^* \in A_l</math>. מאותה סיבה מתקיים <math>-x^* \in A_l </math>.

בורסוק-אולם מתוך המקרה הסגור

למה. ניתן לכסות את <math>S^{n-1}</math> באמצעות n+1 קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים.

הוכחה. נמקם סימפלקס במרחב ה-n ממדי כך שהראשית נמצאת במרכז הסימפלקס. כעת נטיל את n+1 פאות הסימפלקס על הספירה <math>S^{n-1}</math> באמצעות קרניים שיוצאות מהראשית. קל לראות שתמונת הפאות הן הקבוצות הסגורות הנדרשות.

הוכחת בורסוק-אולם. נניח בשלילה שקיימת פונקציה <math>f: S^n\to \mathbb{R}^n</math> כך שלכל <math>x\in S^n</math> מתקיים <math>f(x)\ne f(-x)</math>. אזי הפונקציה <math>g: S^n\to S^{n-1}</math> המוגדרת לפי <math>g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{\|f(x)-f(-x)\|}</math> מוגדרת היטב (כי המכנה לא מתאפס) ורציפה. נשים לב כי לכל <math>x\in S^n</math> מתקיים <math>g(x)=-g(-x)</math>.

יהי <math>F_1,\ldots,F_{n+1}</math> כיסוי של <math>S^{n-1}</math> באמצעות קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים. <math>g^{-1}(F_1)\ldots, g^{-1}(F_{n+1})</math> הוא כיסוי של <math>S^n</math> באמצעות קבוצות סגורות, ולכן לפי משפט לוסטרניק-שנירלמן קיימים <math>x^*,-x^*\in g^{-1}(F_l)</math>. אולם אז <math>g(x^*)\in f^{-1}(F_l)</math> וגם <math>-g(x^*)=g(-x^*)\in f^{-1}(F_l)</math> בסתירה לטענה ש-<math>F_l</math> אינה מכילה אנטיפודים.

שימושים

משפט לוסטרניק-שנירלמן עומד בבסיס הוכחה פשוטה למשפט לובאס-קנזר בתורת הגרפים, מה שמדגים את היותו כלי חשוב בקומבינטוריקה טופולוגית.

ראו גם

• השערת בורסוק

לקריאה נוספת

• Matoušek, Jiří (2003). Using the Borsuk–Ulam theorem. Berlin: Springer Verlag. doi:10.1007/978-3-540-76649-0. ISBN 3-540-00362-2